$\mathbb{Z}^n$in sonlu indeksli altgruplarina dair

Question

On bilgi: http://matkafasi.com/23593/sayilarin-geometrisi

$H\subseteq \mathbb{Z}^n$ altgrubunun indeksi $m$ olsun ve $S$ de $\mathbb{R}^n$ icinde Lebesgue olcumu $2^nm$'den buyuk, konveks, merkeze gore simetrik bir altkumesi olsun.

1- Sayilarin geometrisini $\frac{1}{2}S$ kumesine uygulayarak $\frac{1}{2}S$ icinde aralarindaki fark $\mathbb{Z}^n$ icinde kalan $z_1,\cdots,z_{m+1}$ elemanlarinin bulunabilecegini gosterin.

2- Birinci soruda buldugunuz elemanlardan en az iki tanesinin ayni $H$-kosetinde bulunacagini gosterin.

3- Buradan da $S$ ile $H$'nin merkez disinda bir noktada daha kesismek zorunda oldugu sonucunu cikartin.