$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ kümesinin özel bir alt kümesi

Question

$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ile $\mathbb{N}$'nin güç (power) kümesini gösterelim. Bu durumda $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ kümesinin öyle bir $\mathcal{F}$ alt kümesi var mıdır ki,

1) $\mathcal{F}$ kümesinin kardinalitesi (cardinality) $2^{\aleph_0}$ olsun,

2) $\mathcal{F}$ kümesinin herhangi iki elemanının kesişimi sonlu olsun.

Comments

Reel sayilarin her elemani icin (ya da sadece $(0,1)$ araligi icin) limiti bu reel sayi olan bir adet dizi secersek (secebilirsek) istenilenler saglanir. 

1) Kardinalitenin $2^{\mathcal N_0}$ olacagi asikar,
2) Her dizi ayri noktalara yakinsadigi icin kesisinleri sonlu olur.

$\mathcal P(\mathbb N)$ kumesinin dizilerle iliskisi icin: ilgili soru.

Answer 1

(Aşağıdaki çözüm fikir olarak Sercan'ın cevabı ile aslında aynı)

Sonlu 0-1 dizileri kümesinin de sayılabilir olduğu kolayca kanıtlanabilir. Bu kümeyi $2^{< \omega}$ ile gösterelim ve $g: 2^{< \omega} \rightarrow \mathbb{N}$ bir eşleme olsun.

$f: 2^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$ fonksiyonu $(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \mapsto \{g((a_0,a_1,...,a_i)):i \in \mathbb{N}\}$ olarak tanımlansın. $f$ fonksiyonunun birebir olduğunu ve görüntüsünün istenilen özellikleri sağladığını kanıtlamak da okuyucuya egzersiz olsun!