Supremumun görüntüsü ile görüntülerin supremumu

Question

Diyelim ki $A$, $\mathbb{R}$'nin sınırlı ve boştan farklı bir alt kümesi ve $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ herhangi bir fonksiyon olsun. Basit bir örnekle gösterilebilir ki, $$f(\text{sup}A)=\text{sup}f(A)$$ eşitliği her zaman sağlanmak zorunda değil. Peki bu eşitliğin sağlanması için $f$ fonksiyonu üzerine hangi koşul(lar) konmalıdır?

Answer 1

$f$ surekli ve artan bi fonksiyonsa saglanir. 

ispat: ($[0,1)$ araligi icin)  $\sup A=1$ ve O zaman sol taraf $f(1)$ yapar. Fonksiyon surekli ve artan oldugundan tum $x \in A$ icin $f(1)>f(x)$  eger baska bir $f(a)$ degeri de bu kosulu sagliyorsa $a>1$ olmali ve $f$ artan bir fonksiyon oldugundan $f(a)>f(1)$ olur. Yani $\sup f(A)=f(1)$ olur.

Comments

Matematik ispat ister :)

---

minik bir ispat ekledim.

---

(Her noktada) Sadece soldan sürekli olmak yetebilir.

---

(Adimlari azalan) adim fonksiyonlari ters ornek olabilir bu durumda.

---

Gerci artanlik kosulu da vardi, onu es gecmisim.

---

Artan olmasa olmaz mı? Azalmayan olsa mesela.

---

Olur. Aslinda ilk yazarken kastim oydu. Hatta sadece $\sup A$ noktasinda soldan sureki olsa da yeterli.