Bir Eşitsizlik

Question

Merhabalar.

Aşağıdaki geçişin nasıl yapıldığını çıkaramadım. Young veya Cauchy-Schwarz kullanarak sanki elde edeceğim gibi, yaklaştığımı hissediyorum ancak bir türlü sonuca ulaşamadım. Eşitsizlik şu şekilde:

$$(U^m - U^{m-1}, U^{m-\theta}) \geq \frac{1}{2} \Big\{ \|U^m\|^2 - \|U^{m-1}\|^2 + (1 - 2 \theta) \|U^m - U^{m-1}\| \Big\}.$$

Burada $\theta \in [0,0.5]$ olmak üzere, $U^{m-\theta} := (1 - \theta) U^m + \theta U^{m-1}$ biçiminde tanımlanıyor. İlaveten $\|\cdot\|$ L2 normu ve $(\cdot,\cdot)$ buna karşılık gelen iç çarpımı ifade ediyor.

Yardımcı olabilirseniz memnun olurum.

Comments

$U$'nun tanımı ve integrasyonun aralığı nedir?

---

Evet doğru belirtmemişim, $U$, $H^1([0,1])$ uzayına ait ve sınırlarda $0$ değerini alan bir fonksiyon. İntegrasyon aralığı da $[0,1]$.