Question

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e \textrm{ ise }\lim_{n \to \infty}{\frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}}=e$$ olduğunu gösteriniz

Answer 1

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=L\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {a_{n}}=L$   ifadesini kullanarak sonuca ulaştım.

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right) ^{n}} {n!}$  olsun.

$\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\dfrac {\left( n+2\right) ^{n+1}} {\left( n+1\right) !}\dfrac {n!} {\left( n+1\right) ^{n}}=\left( \dfrac {n+2} {n+1}\right) ^{n+1} =\left( 1+\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}$

En son bulduğumuz ifadenin limitini aldığımızda yani   $\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}=e$ olmasından dolayı   $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1} {\sqrt [n] {n!}}=e$  olduğunu söyleyebiliriz. 

Comments

Güzel çözüm, 

Answer 2

Bildiği gibi öğencilerinin limit hesabındaki en büyük

yardımcısı L'Hospital kuralıdır. Ne yazık ki dizilerin limitinin

hesabında bu kural çoğu kez bir işe yaramaz. Fakat dizilerde

de bunun bir karşılığı vardır.

Teorem. $\left( a_{n}\right)$ ve $\left( b_{n}\right)$ iki dizi ,

$\left( b_{n}\right)$ kesin artan  ve

 $\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty$ olsun. Eğer 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L$ ise 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ dir.

Bu teoremde $L=\pm \infty$ da olabilir. Kanıt için Ali Nesin, Analiz

I, örnek 7.38' e bakınız. Link:

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz\_1.pdf

Şimdi bu kuralı uygulayalım. $y_{n}=\frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}$

olsun. 

$\ln y_{n}=\frac{1}{n}\left( n\ln \left( n+1\right)-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln k\right)$ dır.

$a_{n}=n\ln \left( n+1\right) -\sum\limits_{k=1}^{n}\ln k$ ve $b_{n}=n$ ise

$\left( b_{n}\right)$ kesin artan ve

 $\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty$ dir. Ayrıca $b_{n+1}-b_{n}=1$ ve

$a_{n+1}-a_{n}=\left( n+1\right) \ln \left( n+2\right) -\ln \left(n+1\right) -n\ln \left( n+1\right)$

$=\ln \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{\left( n+1\right) }\rightarrow \ln e=1$.

 

O halde $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=1$

olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ olur. Burdan $\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=e$ elde edilir.

Bu problemi çözen bir başka, kanımca önemli, teorem şöyle diyor.

Teorem. $\left( x_{n}\right)$ pozitif terimli bir dizi ve  $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L$  ise $\lim_{n\rightarrow\infty }\sqrt[n]{x_{n}}=L$ dir.

Bu teorem ilk teorem kullanılarak kanıtlanabilir. Bunun için $a_{n}=\ln x_{n}$ ve $b_{n}=n$ alınabilir.

Bu sözü edilen son  teorem kullanılarak bir cevap tersinin tersi tarafından zaten verilmiş 

Comments

teşekkürler oldukça açıklayıcı olmuş