Numara işaretleme

Question

Başka bir sitedeki forumda sorulup henüz çözümüne ulaşamadığım aşağıdaki soru için yorum yapar mısınız?

Üzerinde 1’den 1000’e kadar numaralanmış 1000 tane nokta olan bir çemberde önce 1 numaralı nokta işaretleniyor. Sonra 1’den sonra gelen 15. nokta (yani 16) işaretleniyor. Her işaretlenen noktadan 15 sonraki nokta işaretlenmeye devam ediliyor (1, 16, 31, 46, …). Daha önce işaretlenmis bir noktaya gelince duruluyor. Toplam kaç nokta işaretlenmiştir? (800)

Comments

Noktalarimiz $\{1+15k \mod  1000\: | \: k \in \mathbb N\}$. Bu kumenin eleman sayisini soruyor. 

$k=200$ icin $1+15(200)\equiv 1 \mod 1000$. Yani $200$ adim sonra tekrar basa donecek. Nasil $800$ olabilir.

Ya da bir seyi gozden mi kacirdim? isaretlenmeyen $800$ oluyor.

---

Soru "Toplam kaç nokta işaretlenmemiştir?" olabilir.

---

Başka bir sitede

bkz: http://ilkders.net/wp-content/uploads/2013/11/muhakeme_problemleri_my.pdf Sayfa 3, Soru 42

cevap 800 olarak yazılı.

Bana başka bir forumda bu soruyu soran kişi de yine cevap 800 olarak vermişti.

Soruyu hazırlayan ben değilim.

---

"me" hecesi unutulmuş olamaz mı?

Answer 1

    Birinci sayı $1$ ve her $15$ sayıdan birisi işaretlenecekse son işaretlenen sayı $991$   olacaktır. Birinci turda $\frac{991-1}{15}+1=67$  sayı işaretlenecektir. 

    İkinci turun ilk sayısı   $991+15-1000=6$  olacaktır. Yani bu turda da $15$'e bölündüğünde 6 kalanını veren sayılar işaretlenecektir. İkinci turda son işaretlenen sayı $996$ dır. Bu turda işaretlenen sayı adedi:   $\frac{996-6}{15}+1=67$ sayı işaretlenmiştir. 

    Üçüncü turun ilk sayısı :$996+15-1000=11$ olacaktır. Üçüncü turun son sayısı ise $986$ dır. Üçüncü turda işaretlenen sayıların adedi ise $\frac{986-11}{15}+1=66$ sayı işaretlenecektir.

    Dördüncü turun ilk sayısı:$986+15-1000=1$ olup başa, yani ilk işaretlenmiş sayıya gelinmiştir.  O halde tekrara başlanıldı demektir. Buraya kadar işaretlenmiş sayı adedi:$67+67+66=200$ olup işaretlenmemiş sayı adedi $1000-200=800$ dir.