$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$ sinyalinin $\mathcal{Z}$ dönüşümünü bulun

Question

$u[n]$ basamak fonksiyonu olmak üzere :

$$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$$

Sinyalinin $\mathcal{Z}$ dönüşümünü bulun.

Comments

Neden bu fonksiyonun? ve $\Omega_0$ nedir?

---

"Neden bu fonksiyonun ?" sorusunu anlayamadım.

$\Omega_0$ , sabit bir sayı.

---

Siyal için özelliği olan bir fonksiyon mu?

---

Herhangi bir özelliğinin olmaması lazım.Bütün fonksiyonları sinyal olarak tanımlayabiliriz.Sinyalin tanımı için buraya bakılabilir.

---

Buraya da bakilabilir.

Answer 1

Sinyalimiz ve $\mathcal{Z}$ dönüşümünün tanımı :

$$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$$

$$X(n)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^\infty\,x[n]\,z^{-n}$$

Bizden istenen :

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=-\infty}^\infty\,\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\,z^{-n}$$

Basamak fonksiyonunun özelliğini kullanarak sadeleştirelim.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=0}^\infty\,\alpha^n\cos(\Omega_0n)\,z^{-n}$$

Kosinüsü açalım.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=0}^\infty\,\alpha^n\frac{e^{i\Omega_0n}+e^{-i\Omega_0n}}{2}\,z^{-n}$$

Sadeleştirelim.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:} \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty\,\Bigg[  \bigg(\alpha\,e^{i\Omega_0n}z^{-1}\bigg)^n+\bigg(\alpha\,e^{-i\Omega_0n}z^{-1}\bigg)^n\Bigg]$$

Buradan seriyi kolayca hesaplayabiliriz.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\frac{1}{2}\Bigg[   \frac{1}{1-\alpha\,e^{i\Omega_0}\,z^{-1}}+\frac{1}{1-\alpha\,e^{-i\Omega_0}\,z^{-1}}\Bigg]$$

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\frac{1-\alpha\cos(\Omega_0)\,z^{-1}}{1-2\alpha\,\cos(\Omega_0)\,z^{-1}+\alpha^2\,z^{-2}}\:\:\:,\:\:\:|z|>|\alpha|}}$$