$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}$ serisini hesaplayın

Question

$\beta(s)$ Dirichlet beta fonksiyonu olmak üzere :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}$$

Serisini hesaplayın.

Answer 1

Serimiz :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}$$

Dirichlet beta fonksiyonunu integral ile yazalım.Bunun için buraya bakabilirsiniz.

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{1}{k^n}\frac{1}{\Gamma(n)}\,\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{e^x+e^{-x}}\:dx$$

Sadeleştirelim.

$$\int_0^\infty\:\frac{1}{x(e^x+e^{-x})}\sum_{n=1}^\infty\frac{(x/k)^n}{(n-1)!}\:dx$$

Seriyi , $e^x$ fonksiyonunun taylor açılımını kullanarak bulalım.

$$\frac{1}{k}\int_0^\infty\:\frac{1}{e^x+e^{-x}}\,e^{x/k}\:dx$$

$\frac{1}{e^x+e^{-x}}$ ifadesini taylor ile açalım.

$$\frac{1}{k}\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\,(-1)^n\,e^{-x(2n+1-1/k)}\:dx$$

Sadeleştirelim ve integrali çözelim.

$$\frac{1}{k}\sum_{n=0}^\infty\,(-1)^n\,\int_0^\infty\:\,e^{-x(2n+1-1/k)}\:dx$$

$$\frac{1}{k}\sum_{n=0}^\infty\,\frac{(-1)^n}{2n+1-1/k}$$

$$\frac{1}{2k}\sum_{n=0}^\infty\,\frac{(-1)^n}{n+1/2-1/2k}$$

Seriyi lerch zeta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}=\frac{1}{2k}\Phi\Bigg(-1,1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\Bigg)}}$$