Question

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \int\limits_1^n \! n^{\frac{1}{x}} \, \mathrm{d}x$ ifadesinin degerini hesaplayiniz.

Answer 1

Öncelikte integrali hesaplayalım.İntegeral :

$$\int\:n^{\frac{1}{x}}\:dx$$

$u=n^{\frac{1}{x}}$ ve $dx=du$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$$n.x^{\frac{1}{x}}+\ln(n)\int\,\frac{n^{\frac{1}{x}}}{x}\:dx$$

$\frac{\ln(n)}{x}=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$n.x^{\frac{1}{x}}-\ln(n)\int\,\frac{e^u}{u}\:du$$

İntegrali üstel integral ile yazıp çözelim.

$$\int\:n^{\frac{1}{x}}\:dx=n.x^{\frac{1}{x}}-\ln(n)Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{x}\bigg)$$

Şimdi belirli integrali ve limiti bulalım.

$$\lim\limits_{n\to\infty}\:n^{\frac{1}{n}}-\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)-1+\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))$$

Sadeleştirelim.

$$\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:n^{\frac{1}{n}}-1\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))\Bigg)$$

İlk limiti kolayca bulabiliriz.

$$-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))\Bigg)$$

Wolframalpha'ya göre $1.$ limit $0$ , $2.$ limit ise $1$ .

Limitlerin çözümünü bulunca yazıya eklerim.Bulan varsa yorum olarak da yazabilir.