Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.8k kez görüntülendi

x>0,y>0elemanR ,1x+1y=x+y5 eşitliğini sağlayan kaç (x,y)  değeri vardır ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.8k kez görüntülendi
x,y hakkında herhangi bir bilgi var mı?

Hatta x>0,y>0 olmalıdır.

Evet hocm dediğinz gibi

Eşitlik, x=y=523 için sağlanır.

Cevabın kaç olduğunu biliyor musunuz?

Kendim yazdim ugrasmadim o yuzden cevap yok

Ben bir tane bulabildim.

Oda guzel hic cozum olmamasindqn iyidir

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

x=a ve y=b olsun.

x=a2 ve y=b2 olur.

İfadeleri eşitlikte yerlerine yazalım.

1a+1b=a25+b25

1aa25=b251b

5a3a=b35b (Bu eşitlik, a=b=51/3 için sağlanır.)

a=51/3 ise x=52/3

b=51/3 ise y=52/3 olur.

                                                                        

(594 puan) tarafından 

Kapalı Fonksiyon Teoreminden, çok daha fazla (sonsuz çoklukta) çözüm olmalı.

Soruyu soran kişiye, "bir tane bulabildim" diye söylemiştim.Cevapta  belirtmemişim.
Sonsuz olduğunu açıklayabilir misiniz?
0 beğenilme 0 beğenilmeme

YsnA güzel bir yöntemle denklemin bir çözümünü bulmuş. Bu çözümden yararlanarak, sonsuz çoklukta çözümün var olduğunu Kapalı Fonksiyon Teoremi (https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf (sayfa 93)) ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Biraz daha basit, ama dah fazla işlem gerektiren, bir çözüm de (bir aralıktaki her y değeri için) Ara Değer Teoremini (koşullarının sağlandığım gösterip) kullanarak denklemi sağlayan bir x in varlığını göstermek olurdu.

F(x,y)=1x+1yx+y5 olsun. (325,325)  olmak üzere   F, (325,325) merkezli 325 yarıçaplı açık dairede sürekli kısmi türevlere sahiptir. Fy(325,325)=110150 olduğundan, Kapalı Fonksiyon Teoreminden, 325 nin bir V komşuluğunda tanımlı bir f (türevlenebilen) fonksiyonu vardır ki (325,325) nin bir U komşuluğunda 

{(x,y):F(x,y)=0}U={(x,f(x)):xV}

olur. (yani bu nokta yakınında denklemin çözümü, f nin grafiğidir)  

 V kümesinde sonsuz çoklukta gerçel sayı olduğundan, F(x,y)=0 denklemin de sonsuz sayıda çözümü vardır.

Kapalı Fonksiyon Teoreminin (buradakinden biraz daha genel şekli ile) (Mert Çağlar tarafından hazırlanmış güzel bir kaynak) aşağıda ifadesi ve ispatı var

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf 

(6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,331 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,036,271 kullanıcı