YsnA güzel bir yöntemle denklemin bir çözümünü bulmuş. Bu çözümden yararlanarak, sonsuz çoklukta çözümün var olduğunu Kapalı Fonksiyon Teoremi (https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf (sayfa 93)) ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Biraz daha basit, ama dah fazla işlem gerektiren, bir çözüm de (bir aralıktaki her y değeri için) Ara Değer Teoremini (koşullarının sağlandığım gösterip) kullanarak denklemi sağlayan bir x in varlığını göstermek olurdu.
F(x,y)=1√x+1√y−x+y5 olsun. (3√25,3√25) olmak üzere F, (3√25,3√25) merkezli 3√25 yarıçaplı açık dairede sürekli kısmi türevlere sahiptir. ∂F∂y(3√25,3√25)=−110−15≠0 olduğundan, Kapalı Fonksiyon Teoreminden, 3√25 nin bir V komşuluğunda tanımlı bir f (türevlenebilen) fonksiyonu vardır ki (3√25,3√25) nin bir U komşuluğunda
{(x,y):F(x,y)=0}∩U={(x,f(x)):x∈V}
olur. (yani bu nokta yakınında denklemin çözümü, f nin grafiğidir)
V kümesinde sonsuz çoklukta gerçel sayı olduğundan, F(x,y)=0 denklemin de sonsuz sayıda çözümü vardır.
Kapalı Fonksiyon Teoreminin (buradakinden biraz daha genel şekli ile) (Mert Çağlar tarafından hazırlanmış güzel bir kaynak) aşağıda ifadesi ve ispatı var
https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf