$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ icin $f(\frac{x+y+z+t}{4})=f(\frac{x+y}{2})+f(\frac{z+t}{2})$ denklemini sağlayan tüm fonksiyonları bulunuz ?

Question

$f:R->R$  icin $f(\frac{x+y+z+t}{4})=f(\frac{x+y}{2})+f(\frac{z+t}{2})$ denklemini sağlayan tüm fonksiyonları bulunuz ?

Answer 1

$a\in \mathbb R$ için $(x,y,z,t)=(2a,0,2a,0)$ degeri $f(a)=2f(a)$ eşitligini verir. Burdan $f(a)=0$ gelir.

Comments

f(a)=0 gelmesi tüm fonksiyonları verdi mi ?  Tümünü yani x=y=z=t eşit alsakta sağlar ama acaba bundan başka fonksiyon var mı ? Bende bulamadm hatta bu denklem doğrusal bir denklem 

$x+y=u, z+t=v$ dersek $f(u+v)=f(u)+f(v)$ olur 

$f(x)=mx$ bu denklemin çözümü olmalı ama denklem sağlanmıyor birtek m=0 sağlar  o halde $f(a)=0$ dır başka yokmusu kafamı karıstırdı teşekkürler 

---

Soruda verilmemis fakat her $x,y,z,t$ icin saglaniyorsa olmali galiba. Ben buna gore cozdum. Sonucta her $a$ icin bu saglaniyor. Deger vererek sunu gorduk: $f(x)=0$ fonksiyonu tek secenek. Geriye bu secenegin her $x,y,z,t$ icin saglandigini gostermek kaliyo. Zaten saglaniyor.

---

$f(\frac{u+v}4)=f(u/2)+f(v/2)$ olur. Burdan da $f(a+b)=f(2a)+f(2b)$ gelir.

---

Sayın ali tas,

Sorudaki eşitlikten sanırım ancak,$f(\frac{u+v}{4})=f(\frac u2)+f(\frac v2)$ yazılabilir. Sizin yazdığınız eşitlik elde edilemez diye düşünüyorum.

---

Evet doğru düşünüyorsunz sayın metok . Paydadaki 4ü dikkate almadan yazarsak  işler kesat.