$\tilde K$ cismini $\mathcal O_P/P$ cismine nasil gomebiliriz?

Question

$P$ kumesi $F/K$ fonksiyon cisminin bir yerleskesi olsun ve $\mathcal O_P$ de bu yerleskeye karsilik gelen deger halkasi olsun. $P$ yerleskesi $\mathcal O_P$ yerel halkasinda (biricik) maksimal ideal oldugundan $\mathcal O_P/P$ kalan sinif halkasi cisim olmali$^*$. Her $x\in \mathcal O_P$ icin $x(P)\in\mathcal O_P/P$ elemanini $x$ elemaninin mod-$P$ kalan sinifi olarak tanimlayalim ve her $x \in F\backslash \mathcal O_P$ icin de $x(P):=\infty$ olarak tanimlayalim$^{**}$. (Burda $\infty$ ile ayrik degerlendirme taniminda kullandigimiz $\infty$ fakli manada,fonksiyonlarimiz farkli fonksiyonlar). 

Gosteriniz: $^*$ ile isaretlenen cumlede cisim oldugunu nasil cikardik? Bununla ilgili teoremi yaziniz ve ispati icin bir referans veriniz.

Gosteriniz: $^{**}$ ile isaretlenen $x \in F\backslash \mathcal O_P$ icin de $x(P):=\infty$ olarak tanimlayalim cumlesi ne anlama geliyor.

Gosteriniz: $K \in \mathcal O_P$ oldugundan ve $K\cap P=\{0\}$ oldugundan $K$ cismini $\mathcal O_P/P$ cismi icine gomebiliriz. Burda $\mathcal O_P \to \mathcal O_P/P$ dogal (canonical) fonksiyonu kullabilirsiniz. Hatta bunu $K$ yerine $\tilde K$ icin de soyleyebiliriz. Yani $\tilde K$ cismini $\mathcal O_P/P$ cismi icine gomebiliriz. Ayrica bir cismi dogal bir sekilde baska bir cisimin icine gommenin ne anlama gelecegini belirtiniz.

Comments

kitabin diger sorulari icin linkteki ilk cevaba bakabilirsiniz.

Answer 1

$R$ halkasi degismeli ve birimli bir halka olsun. $R$ halkasinin $M$ ideali maksimaldir ancak ve ancak $R/M$ halkasi cisimdir. (Finite Fields - Lidl & Niederreiter - Teorem 1.47-a)

$\mathcal O_P$ halkasinin disindaki elemanlari gormezden gelme, hepsini bir gorme, kisacasi sallamama anlamina geliyor.

(link) $\tilde K \subset \mathcal O_P$ oldugundan dolayi $\mathcal O_P\to \mathcal O_P/P$ dogal fonksiyonunu $\tilde K \to \mathcal O_P/P$ olacak sekilde tanim kumesini $\tilde K$ olarak sinirlayabiliriz ve bu fonksiyonun cekirdegi $\tilde K \cap P=\{0\}$ oldugundan dolayi $\{0\}$ olmali. Bu da fonksiyonun birebir oldugunu soyler. Kisacasi $\tilde K$ cisminin her elemanini (biricik bir sekilde) $\mathcal O_P/P$ cisminin icerisine gomduk. Bu da $\tilde K$ cisminin bir kopyasinin/benzerinin $\mathcal O_P/P$ cisminin icerisinde bulundugunu soyler. Yani $\tilde K$ cismi $\mathcal O_P/P$ cisminin bir alt cismine izomorf.