$R$ bir cisimse $M_{n}(R)$ halkasının bütün ideallerini bulunuz.

Question

$M_{n}(R)$; $R$ halkası üzerine kurulmuş $n\times n$ tipindeki matrislerin halkası. Matrislerin bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında.

Answer 1

Sav: $R$ bir halka olsun. $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali $I$ ile biricik sekilde $M_n(I)$ olarak yazilabilir.

Ispat: $I$ ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali oldugundan $M_n(I)$ kumesi $M_n(R)$ kumesinin iki tarafli ideali olur. 

Diger taraftan $J$ ideali $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli bir ideali olsun. $I$ kumesi $J$ halkasindaki matrislerin ilk girdilerini iceren kume olsun. Bu dogal olarak iki tarafli bir ideal. 

$E_{i,j}$ sadece $(i,j)$ girdisi $1$ olan ve digerleri sifir olan matris olsun. Bu durumda tum $A=(a_{i,j}) \in M_n(R)$ icin  $$E_{i,j}AE_{k,l}=a_{j,k}E_{i,l}.$$ Yani eger $A \in J$ ise  $$a_{i,j}E_{1,1}=E_{1,i}AE_{j,1}$$ esitliginden $a_{i,j} \in I$ olur. Bu da $J \subset M_n(I)$ oldugunu soyler.

$r \in I$ olsun. Taniminda dolayi bir adet $A=(a_{i,j}) \in J$ matrisi icin $r=a_{1,1}$. $$rE_{i,j}=E_{i,1}AE_{1,j} \in J$$ oldugundan $B=(b_{i,j}) \in M_n(I)$ matrisini $$\sum\limits_{i,j=1}^nb_{i,j}E_{i,j} \in J$$ olarak yazabiliriz. 

Comments

+1 begenilme.