İntegrand tek fonksiyon ne demektir, nasıl çözülür, kuralları nelerdir?

Question

Yardım edin lütfen. Çözümü neden sıfır eder?

Answer 1

Öncelikle  tek fonksiyonun tanımını verelim.

Bir $f$ fonksiyonu tanım kümesinin her $x$ elemanı için $f(-x)=-f(x)$ koşulunu sağlıyorsa bu fonksiyona tek fonksiyon diyoruz. Dikkat edilirse tek fonksiyonların grafiklerinin orijine göre simetriktir. 

İntegrant ise, integralinin alınması(bulunması) istenen fonksiyondur.Örneğin ;

$\int(3x^2+4x+1)dx$  ifadesinde integran:$3x^2+4x+1$ fonksiyonudur. Kısaca $\int...dx$ yazılımında noktalı yere yazılan fonksiyon integrant olarak adlandırılır. 

Şimdi; $f$ bir tek fonksiyon olsun. $a$ pozitif bir sayı olmak üzere $\int_{-a}^{a}f(x)dx$ integralini düşünelim.  

$$\int_{-a}^0f(x)dx=A$$ ise   $$\int_{0}^af(x)dx=-A$$ dir. Çünkü fonksiyon tek olduğundan (yani orijine göre simetrik olduğundan) $oy$ ekseninin solunda grafik $ox$ ekseninin altında alan sınırlıyorsa bunun simetriği olan alan, $oy$ ekseninin sağında $ox$ ekseninin üzerinde olacaktır. Ayrıca Alanların mutlak değerleri eşit , fakat integralleri ters işaretli olacaktır.Böyle olunca da ;

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$$ dır çünkü $$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-A+A=0$$ dir. Ancak burada integral sınırlarının mutlak değerce eşit ve fakat ters işaretli olduğuna dikkat edilmelidir. Yoksa her tek fonsiyonun her integrali sıfır değildir.