$$e^{\frac {x} {2}\left( r-\frac {1} {r}\right) }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^nJ_{n}\left( x\right)$$ eşitliğinin ispatı

Question

kuvvet serileri ile açarak soldaki terimi, 

$$\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{k}\dfrac {\left( \dfrac {x} {2}\right) ^{j+k}} {j!k!}r ^{j-k}$$

ve $j$ yi $n+k$ ile yer değiştirerek 

$$\sum _{n=-k}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{k}\dfrac {\left( \dfrac {x} {2}\right) ^{n+2k}} {(n+k)!k!}r ^{n}$$

buraya kadar herşey güzel, içeride bessel fonksiyonu gözüküyor zaten ama anlamadığım, 

$n=-k$ neden $n=\infty$ diye yazıldı?

Comments

$J_n(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{k}\dfrac {\left( \dfrac {x} {2}\right) ^{n+2k}} {(n+k)!k!}$

---

$k$ hakkinda hic bir bilgi yokken en dista $n=-k$ olmasi hata degil mi? Toplami daha degisik durumda yazmak gerekir. En azindan su var: $k$ degerleri sonsuza gidiyor, yani alt taban $n=-k$ da $-\infty$'ye gidebilir, gitmeli.

---

yani sonsuza değil de $2$ ye gitseydi, $-2$ mi yazıcaktık $k$ yerine? öylese nasıl, ispatlanabilir?

toplam sembölü değiştirince, bir sürü sonsuz toplam geliyor, $n=-1$ den sonsuze ve benzeri, baya karışıyor ortalık, ben bir yere gidemedim oradan

---

limiti oylesine soylemistim, fakat iliskili gibi duruyor. 

Answer 1

$\{j,k \in \mathbb Z \: | \: j,k \geq 0\}$ kumesinden $\{n,k \in \mathbb Z \: | \: n+k,k \geq 0\}=\{n,k \in \mathbb Z \: | \: k \geq 0\}$ kumesine gittik.

Comments

benim böyle düşünmemi sağlayacak konu veya kitap(lar) nedir? 

aslında biz inf'îne mi bakmış oldu kümenin?

---

Ordan burdan gördüklerimle, kitap önerim yok maalesef.  İnf olayı yok burda, direk küme eşiti, $n$ her değeri alabilir. 

Bu arada $+$ yerine $-$ yazmışım, onu düzenliyorum.