Question

$0_R\neq 1_R$ olacak şekilde bir R halkasında her $a\in R$ için $a^6=a$ ise kar(R) nedir?

kar(R): Rnin karakteristiligi

Answer 1

$\phi(1) = 1_R$ ile tanimlanan $\phi: \mathbb{Z}\to R$ halka homomorfizmasinin cekirdegini ariyoruz. $\phi(64) = \phi(2^6) = \phi(2)^6 = \phi(2)$. O halde, $0 = \phi(64) - \phi(2) = \phi(62)$. Yani en azindan $62'$nin cekirdekte oldugunu biliyoruz. Tam sayilar halkasinin ideallerinin nasil oldugunu, karakteristigin ya sifir ya da asal oldugunu da biliyoruz. Bu durumda, iki secenege inmis durumdayiz: Karakteristik ya $2$ ya da $31$! 

Ayni sekilde, $\phi(3) = \phi(3)^6 = \phi(3^6) = \phi(729)$. Demek ki, $\phi(726) = 0$. Yani, $726$ da cekirdekte. $726$ sayisi $31$'e bolunmediginden tek bir secenegimiz kalmis demektir. 

Daha guzel bir sekilde cozumu mutlaka vardir.

Comments

daha güzelinin oldugunu sanmiyorum hocam. yalniz phi yerine baska bi şey kullansaydik daha iyi olurdu :)

---

Soyledigim yanlis bir sey var: Asal ideallerle isimiz yok burada. Zira, elimizde bir tamlik bolgesi yok ise o zaman karakteristik asal olmak zorunda kalmayabilir. Sonucun $2$ olmasinin sebebi hem $726$, hem de $62$ bolen tek sayi olmasi.

Kusura bakma.

Answer 2

Ozgur'un dedigini (kendimce) daha ilkel sekilde yazayim:  $$1+1=(1+1)^6=1+1+1+\cdots+1$$ ve $$1+1+1=(1+1+1)^6=1+1+1+\cdots+1.$$ Yani $62$ tane $1$'i toplayinca veya $726$ tane $1$'i toplayinca $0$ elde ediyoruz. Karakteristik bunu saglayan en kucuk sayiyi boler, yani karakteristik $2$'yi bolen bir sayi olmali (en buyuk ortak bolenden dolayi). Krakteristik $1$ demek $1_R=0_R$ demek. O zaman karakteristik $2$ olabilir. Zaten $\mathbb F_2$ (en azindan) bu sarti saglar.

Su soru da sorulabilir: Bu sarti saglayan halkalar (hepsi) nelerdir?

Comments

hocam burada buldugumuz 2 sayinın ebob u 6 gibi bi sayı ciksaydi. bu işleme devam mı ederdik mesela 4^6-4 gibi

---

Surekli $6$'nin kati gelirse eger, cevap $2,3$ yada $6$ olabilir. Fakat $6$ oldugunu burdaki gibi iki ornekle degil, tum hepsi icin sagladigini gostermemiz gerekir. Asali indirgeyemezsin ama digerlerinin indirgenme olasiligi olabilir.

Answer 3

$1=(-1)^6=-1$ ise $2=0$ olur.

Comments

Baya başarılı.