$\frac{\Gamma\big(\frac{1}{10}\big)}{\Gamma\big(\frac{2}{15}\big)\Gamma\big(\frac{7}{15}\big)}$ ifadesinin en sade halini bulun

Question

$\Gamma(x)$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$$\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{2}{15}\Big)\Gamma\Big(\frac{7}{15}\Big)}$$

İfadesinin en sade halini bulun.

Answer 1

İfademiz :

$$\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)\Gamma\Big(\frac{2}{15}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{7}{15}\Big)}$$

Gama fonksiyonuyla ilgili aşağıdaki eşitliği kullanalım.Bu eşitliğin ispatı için buraya bakılabilir.

$$\Gamma(nz)=(2\pi)^{\frac{1-n}{2}}\:n^{nz-\frac{1}{2}}\:\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\bigg(z+\frac{k}{n}\bigg)$$

$n$ yerine $3$ verelim.

$$\Gamma(3z)=\frac{3^{3z-\frac{1}{2}}}{2\pi}\Gamma(z)\Gamma\bigg(z+\frac{1}{3}\bigg)\Gamma\bigg(z+\frac{2}{3}\bigg)$$

$z$ yerine $\frac{2}{15}$ verelim ve sadeleştirelim.

$$\Gamma\bigg(\frac{2}{15}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{2}{15}\bigg)=3^{1/10}\:2\:\pi\:\frac{\Gamma\Big(\frac{2}{5}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{4}{5}\Big)}$$

Şimdi tekrar gama fonksiyonu için verilen eşitlikte $n$ yerine $2$ , $z$ yerine $\frac{2}{5}$ verelim ve sadeleştirelim.

$$\frac{\Gamma\Big(\frac{2}{5}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{4}{5}\Big)}=\frac{\sqrt{\pi}\:2^{1/5}}{\Gamma\Big(\frac{9}{10}\Big)}$$

Bütün bulduklarımızı birleştirelim.

$$\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)\Gamma\Big(\frac{2}{15}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{7}{15}\Big)}=\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)\Gamma\Big(\frac{9}{10}\Big)}{\pi^{3/2}\:2^{6/5}\:3^{1/10}}$$
Pay kısmı için Euler'in yansıma formülünü kullanalım ve sadeleştirelim.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

$\phi\to$ altın oran.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)\Gamma\Big(\frac{2}{15}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{7}{15}\Big)}=\frac{\phi}{\sqrt[10]{12}\:\:\sqrt{\pi}}}}$$