Euler'in yansıma formülünü genelleştirin

Question

Euler'in yansıma formülünü , $n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $\psi_n(x)$ için genelleştirin.

Formülün ispatı için buraya bakılabilir.

Answer 1

Yansıma formülü :

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\csc(\pi{x})$$

Her iki tarafıda $x$ e göre türevini alalım.

$$\Gamma^{'}(x)\Gamma(1-x)-\Gamma^{'}(1-x)\Gamma(x)=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc^2(\pi{x})$$

$\Gamma^{'}(x)=\Gamma(x)\psi(x)$ eşitliğini kullanalım.

$$\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(1-x)-\Gamma(1-x)\psi(1-x)\Gamma(x)=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc^2(\pi{x})$$

Sadeleştirelim.

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)\Big[\psi(x)-\psi(1-x)\Big]=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc(\pi{x})$$

$$\pi\csc(\pi{x})\Big[\psi(x)-\psi(1-x)\Big]=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc(\pi{x})$$

$$\psi(x)-\psi(1-x)=-\pi\cot(\pi{x})$$

$$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi{x})$$

Şimdi aynı şekilde tekrar $x$ e göre türev alalım.

$$\psi_1(1-x)+\psi_1(x)=\pi^2\csc^2(\pi{x})$$

Aynı şekilde türevi $n$ kadar alırsak , formülü genelleştirmiş oluruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\psi_n(1-x)+(-1)^{n+1}\:\psi_n(x)=(-1)^n\:\frac{d^n}{dx^n}\pi\cot(\pi{x})}}$$

Comments

Küçük bir yazım hatası olmuş:

2. ve 3. formüllerde $\csc^2(\pi x)$ yerine $\csc(\pi x)$ olmalı.

Sonraki formülde düzeltilmiş.