$\int_0^1\:\ln\Gamma(t)\:dt=\frac{ln(2\pi)}{2}$ eşitliğini ispatlayın

Question

$\Gamma(s)$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$$\large\int_0^1\:\ln\Gamma(t)\:dt=\frac{ln(2\pi)}{2}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegrali çözmek için Euler'in yansıma formülünü kullanabiliriz.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.Formül :

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi\:x)}$$

Her iki tarafıda $\ln$ parantezine alalım.

$$\ln\Gamma(x)+\ln\Gamma(1-x)=\ln\pi-\ln\sin(\pi\:x)$$

Her iki tarafında $0$ dan $\frac{1}{2}$ ye integralini alalım.

$$\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(x)\:dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(1-x)\:dx=\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\pi\:dx-\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\sin(\pi\:x)\:dx$$

Gerekli değişken değiştirmeleri yapalım ve integralleri çözelim.

$$\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(x)\:dx+\underbrace{\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(1-x)\:dx}_{\large\:u=1-x}=\underbrace{\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\pi\:dx}_{\large\big[x\ln\pi\big]_0^{\frac{1}{2}}}-\underbrace{\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\sin(\pi\:x)\:dx}_{\large\pi\:x=u}$$

$$\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(x)\:dx-\int_1^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(u)\:du=\frac{\ln\pi}{2}-\frac{1}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\ln\sin(u)\:du$$

Gerekli sadeleştirmeleri yapalım.

$$\underbrace{\int_0^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(x)\:dx-\int_1^{\frac{1}{2}}\:\ln\Gamma(u)\:du}_{\large\int_0^1\:\ln\Gamma(x)\:dx}=\frac{\ln\pi}{2}-\frac{1}{\pi}\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\:\ln\sin(u)\:du}_{\large\int_0^\frac{\pi}{2}\:\ln(2)+\ln\sin(u)+\ln\cos(u)\:du}$$

$$\int_0^1\:\ln\Gamma(x)\:dx=\frac{\ln\pi}{2}+\frac{\ln2}{2}$$

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int_0^1\:\ln\Gamma(x)\:dx=\frac{\ln(2\pi)}{2}}}$$

Comments

En iyi seçmemişsiniz.