$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx=-\Gamma(s)Li_s(-e^a)$ eşitliğini ispatlatın

Question

$\Gamma(s)$ gama fonksiyonu ve $Li_s(x)$ polylogaritma fonksiyonu olmak üzere :

$$\large\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx=-\Gamma(s)Li_s(-e^a)$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx$$

$\frac{1}{e^{x-a}+1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.

$$\int_0^\infty\:x^{s-1}\:\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{-n(x-a)}\:dx$$

Seri düzgün yakınsak olduğundan integral ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.

$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\int_0^\infty\:x^{s-1}\:e^{-nx}\:dx$$

İntegralde gerekli değişken değiştirmeyi yaparak gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\underbrace{\int_0^\infty\:x^{s-1}\:e^{-nx}\:dx}_{\large\:u=nx\:\to\:\frac{\Gamma(s)}{n^s}}$$

$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\frac{\Gamma(s)}{n^s}$$

Sadeleştirelim.

$$\Gamma(s)\sum_{n=1}^\infty\:\frac{(-1)^{n+1}\:e^{na}}{n^s}$$

$$-\Gamma(s)\sum_{n=1}^\infty\:\frac{(-e^a)^n}{n^s}$$

Polylogaritma fonksiyonunun tanımına göre :

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx=-\Gamma(s)Li_s(-e^a)}}$$