Question

$\left( 2n-1\right) !!=1.3.5...(2n-1)$ olmak üzere $\dfrac {\left( 2n-1\right) !!} {2^{n}}\sqrt {\pi }=\Gamma \left( \dfrac {1} {2}+n\right)$ olduğunu gösterin.

Comments

Ek: Daha genellesmis hali de var bu sorunun.

---

gamma fonksiyonu diye etiketlenmemiş galiba, bulamadım çünkü, linkini atabilirmisin?

---

Yok burda degil, genel olarak.(link)

Answer 1

Beta fonksiyonunu, Gama fonksiyonu cinsinden ifade etmek bağlantısından,

$$\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\Gamma(1)\int_{0}^{1}t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}$$ eşitliği elde edilir. $\Gamma(1)=1$ olduğunu biliyoruz. İntegralde $t=\text{sin}\alpha$ dönüşümü sonrasında gerekli düzenlemeler yapılırsa $$\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{\pi}$$ eşitliği elde edilir. Diğer yandan, $$\Gamma\Big(\frac{1}{2}+n\Big)=\Big(\frac{1}{2}+n-1\Big)\dots\Big(\frac{1}{2}+1\Big)\frac{1}{2}\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)$$  olduğundan  $$\Gamma\Big(\frac{1}{2}+n\Big)=\frac{2n-1}{2}\dots\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$$ sonucu çıkar.