∇2u=∂2u∂x2+∂2u∂y2=0 Burada u(x,y)=X(x)Y(y) şeklinde "değişkenlerin ayrışımı" yöntemini uygulayalım. Bunu Laplace denkleminde yerine koyarsak, X″ alırız. Burada "üsler", "o" değişkene göre türev demektir (x veya y). Buna göre sınır şartlarını da düzenlememiz gerekiyor: u_x(0,y)=X'(0)Y(y)=0\Rightarrow X'(0)=0 \\ u_x(a,y)=X'(a)Y(y)=0\Rightarrow X'(a)=0 \\ u(x,0)=X(x)Y(0)=0\Rightarrow Y(0)=0 \\ u_x(x,b)=X'(x)Y(b)=g(x)
Aşikâr olmayan u\equiv 0 çözümü dışındaki çözümleri arıyoruz. Zira bu zaten bir çözümdür, aramaya gerek yok bu çözümü. u\not \equiv 0 olduğundan Laplace denklemini XY'ye bölebiliriz; bölelim: \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0. Bu denklemdeki iki toplam terimi ayrı ayrı x ve y'nin fonksiyonlarıdır. Böyle iki fonksiyonun toplamı sâbit ise o hâlde iki terim ayrı ayrı sâbit olmalıdırlar. Bu sâbit bizde 0'dır. O hâlde \alpha keyfi bir sâbit olmak üzere, \begin{align} \frac{X''}{X}&=\alpha \\ \frac{Y''}{Y}&=-\alpha\end{align} denklemleri elde edilir.
Bizim problemimize uygun olarak \alpha=-k^2<0 alalım. Bu durumda \begin{align} \frac{X''}{X}&=-k^2 \\ \frac{Y''}{Y}&=k^2\end{align} denklemleri alınır ki çözümleri kolaydır: \begin{align}X(x)&=Ae^{+ikx}+Be^{-ikx}\\ Y(y)&=Ce^{+ky}+De^{-ky} \end{align} Şimdi sınır koşullarını çalıştıralım: X'(x)=ik\left[Ae^{+ikx}-Be^{-ikx}\right]\Rightarrow A-B=0 \\ ik\left[Ae^{+ika}-Be^{-ika}\right]=0 A=B kullanılırsa, \sin ka=0 bulunur. Bu ise ka=n\pi, \hspace{20px} n\in \mathbb Z anlamına gelir. Böylece X bulundu: X_n(x)=2A\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right) Diğerine dönelim: C=-D olduğu görülür:Y_n(y)=2C\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right) Bunların çarpımından u_n(x,y)=A_n\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right) elde edilir. Her n için u_n bir çözüm olduğundan bunların lineer bileşimi de bir çözümdür. Böylece u fonksiyonu u(x,y)=\sum_n a_n u_n şeklinde yazılır. Son hamlede a_n katsayılarını bulacağız. Bunun için son sınır şartını kullanacağız. u_x(x,b)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)=g(x) eşitliği elde edilir. g(x) verilmiş bir fonksiyondur. Sol taraftaki toplam ise bildiğimiz, "sinüs açılımı"dır. Bu toplamdan a_n'yi çekmek için elde ettiğimiz son ifâdeyi m indisli \sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right) fonksiyonuyla çarpıp [0,a] arasında integre edersek ve \sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)'in dik bir dizi oluşturduğunu hatırlarsak -\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\frac{2}{a}\int_0^a\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{2}{a}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\\-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\delta_{nm}=-a_m \frac{m\pi}{a}\sinh \left(\frac{m\pi b}{a}\right)\\ \Rightarrow a_m=\frac{2}{m\pi \sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx şeklinde bulunur. Problem çözülmüştür.