Question

$$\Large i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}$$

İfadesinin eşitini bulun.

Benim denemem :

$$i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}=a$$

$$i^a=a$$

Her iki tarafıda $\ln$ parantezine alalım.

$$a\ln(i)=\ln(a)$$

$$\frac{i\pi}{2}=\frac{\ln(a)}{a}$$

Devamına bir şey getiremedim.

Comments

$lni^{i^{a}}=lni^{a}$ bu işinize yarar mı 

---

Limit $0$'a gidiyor.Bunun bir işe yarayacağını düşünmüyorum ?

---

Aşağıdaki işlem "tetration" olarak geçiyormuş.

$$^na=\underbrace{a^{a^{a^{.^{.^{a}}}}}}_n$$

Benim aradığımda böyleymiş :

$$\lim\limits_{n\to\infty}\:|^ni|\approx0.56755$$

---

Tetration'un açılımı ne peki? Aşağıdan başlayarak sırayla üs alarak mı gidiliyor?

---

Evet hocam , aşağıdan başlayarak $n$ kadar üs alma.

---

Maalesef öyle değilmiş! :) Tam tersi!! Üstten başlayarak alınıyor; tanım öyle. 

(Alttan olsa iş kolay zâten, direkt üsler sırayla çarpılırdı) 

Yukarıdan olunca da tümevarımla güzel bir kural bulmak mümkün değil.

Answer 1

Tetration için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

$$x^{x^{x^{x^{.^{.^.}}}}}=f(x)$$

$$f(x)=-\frac{W(-\ln(x))}{ln(x)}$$

Burda $W(x)$ Lambert W-fonksiyonu

Soruda bizden istenen :

$$f(i)=-\frac{W(-\ln(i))}{ln(i)}$$

$$-\frac{2i}{\pi}W(-\frac{1}{2}i\pi)$$

$$\large\color{red}{\boxed{i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}\approx0.438283+0.3605924i}}$$