Simetriyi tanımlayabilmek (devamını okuyunuz) için neden gruplara gereksinim duyuyoruz?

Question

$A$ metin boyunca hep boş olmayan bir küme olsun.

Tanım: $S(A):=\{f:A\xrightarrow{{\text{birebir ve }örten} }A\}$ kümesi bileşke  $\forall f,g\in S(A)\ \ fg:=f\circ g$ olarak tanımlanan grup işlemiyle birlikte bir grup oluşturur ve bu gruba simetrik grup denir. 
 
Tanım: $G$ bir grup olsun. $G$'den $A$ üzerine bir etki aşağıdaki özelliklere sahip $\Psi : G \times A\rightarrow A$ göndermesi olarak tanımlanır:
$\forall x,y\in G, \forall a\in A: \Psi(e,a)=a$    ve    $\Psi(x,\Psi(y,a))=\Psi(xy,a)$.

O zaman $G$'ye $A$ üzerindeki dönüşüm grubu denir. ($G$ soldan -$\Psi$ aracılığıyla- $A$ üzerine etki eder.)

Not: $\Psi$ ile tanımlanan $\Psi_{x}:A\Rightarrow A:a\mapsto \Psi_x(a):=\Psi(x,a)$ göndermesi $\forall x\in G$ için birebir ve örtendir, yani $\Psi_x\in S(A)\ \ \forall x\in G$. Bunun dışında $\tilde{\Psi}:G\Rightarrow S(A),x\mapsto \tilde{\Psi}(x):=\Psi_x$ bir grup homomorfizmasıdır.
Böylece bir $A$ üzerinde bir dönüşüm grubu $G$'nin verilmesi bir $\tilde{\Psi}:G\mapsto S(A)$ grup homomorfizmasını belirler: Her $\phi:G\mapsto S(A)$ homomorfizması $G$'den $A$ üzerine $\Psi$ etkisinin doğal biçimde $\Psi(x,a):=\left(\phi(x)\right)(a)$ ile tanımlanmasının önünü açar. (Yani $\tilde{\Psi}$'nin $\Psi_x$'si bu $\Psi(x,a)$ üzerinden anlamlandırılıyor.)

Tanım: $A$ üzerinde bir $s$ yapısı olsun. Eğer $A$ üzerindeki bir $G$ dönüşüm grubunun ilgili $\Psi$ etkisi $s$ yapısını değiştirmiyorsa ('invariant' bırakıyorsa), $G$'ye simetri grubu ya da kısaca simetri denir. Bu ilgili birebir ve örten $\psi_x:A\rightarrow A$'nın $s$'yi değiştirmediği anlamına geliyor.

Yapıları daha bir elle tutulur hale getirebilmek için son bir
Tanım: Verilen bir $s$ yapısının $A$ üzerindeki dolu simetri grubu $\text{Mor}(A):=\{f:A\xrightarrow{{\text{birebir ve }örten}} A\vert f \text{ göndermesi } s\text{'yi değiştirmez}\}$ ile $\forall f\in \text{Mor}(A),a\in A\ \ \Psi(f,a):=f(a)$ etkisiyle tanımlanır. $\text{Mor}$; $s$ yapısının tersinir morfizmaları (=yapı koruyan gönderme) grubunun kısaltmasıdır.

Not: $\text{Mor}(A)\subset S(A)$. Genel bir simetri $\tilde{\Psi}:G\Rightarrow \text{Mor}(A)$ grup homomorfizmasıyla verilmiş olur. Bu bağlamda bir yapı ile bir $\text{Mor}(A)\subset S(A)$ altgrubunun seçilmesiyle özdeşleştirebiliriz.

Not: Her korunan yapıya ilişkin (çoğunlukla) ayrı bir (dolu) simetri (grubu) vardır.
cebirsel yapı (grup, halka, vektör uzayı,...) $\leftrightarrow$ Otomorfizma  $\text{Aut(A)}$ (örn.vektör uzayı $\leftrightarrow$ vektör uzayı izomorfizması)
topolojik yapı $\leftrightarrow$  Homeomorfizma $\text{Homeo(A)}$
türevlenebilir yapı $\leftrightarrow$ Difeomorfizma $\text{Diff}(A)$
geometrik yapı   (örn. metrik=iki nokta arasındaki uzunluk $\leftrightarrow$ İsometri $\text{Isom}(A,d)$)

Ek soru: (Küme,yapı, dolu simetri grubu, etki) çoklusu için örnek tanımlar verebilir misiniz? Mesela aynal simetri için? Ya da üzerinde bir yapı olmayan bir $A$ kümesi için?

Answer 1

Ek sorunun son kısmına yanıt: Eğer $A\neq\emptyset$ üzerinde yapı olmayan bir küme ise, dolu simetri grubu $S(A)$'dır. İlgili etki $\Psi: S(A)\times A\rightarrow A, \Psi(f,a):=f(a)\ \ \forall f\in S(A), a\in A$'dir. ($A$'nın diğer bütün -örn. $G$ ile adlandırılan- simetrileri bir $\phi:G\rightarrow S(A)$ grup homomorfizması üzerinden belirlenebilir.)

Comments

Aynal simetri terimi ve dolu simetri grubu nedir? Yani Tanım olarak.

---

Bir $a\in A$'nın bir $l\in A$'ye göre aynal simetri dönüşümü $\text{Ayn}_l:A\rightarrow A, a\mapsto \text{Ayn}_l(a):=a-\frac{\langle a,l\rangle}{\langle l,l\rangle}l$ olarak tanımlanır. Yani zaten baştan aynal simetri terimini tanımlayabilmemiz için $A$'nın (Öklit) metriği yapısına sahip olması lazım.

Dolu simetri grubu soruda tanımlanıyor (sonuncu).

---

Çok çok affınıza sığınarak:

ilk tanım $S(A):=\{f:A\rightarrow A\}$ fonksiyonlar bire-bir ve örten olmalı.
ikinci tanım da $\Psi: G\times A\rightarrow X$ ...$X$ yerine $A$ gelmeli. Hemen devamında $\Psi(x,\Psi(y,m))=\Psi(xy,a)$ ifadesinde $m$ yerine $a$ gelmeli.

Ek sorudan önce soru varmı? Yoksa ek sorudan önce yazılanların ispatını mı istiyoruz! Ayrıca sorudan şunu mu anlamamız gerekiyor: $A$ ne olursa olsun(cebirsel bir yapıya sahip olmasa da) yukarıda yazılanlar tanımlanabilir mi?

---

Düzelttiğiniz için asıl ben çok çok teşekür ederim. Soru başlığındakini asıl soru olarak düşünmüştüm. Ve bence evet, $A$ herhangi bir topolojik ya da sıra yapısına sahip olsa yeter(yani cebirsel olmak zorunda değil) - bunların dışında başka tür yapı(:=elemanları veya altkümelerinin aralarındaki bağıntılardan meydana gelen belli özelliklere sahip küme) var mı bilmiyorum...