$\left( \sum _{k=1}^{n}a_{k}\right) \left( \sum _{k=1}^{n}b_{k}\right) \leq n\sum _{k=1}^{n}\left( a_{k}b_{k}\right)$

Question

$a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ ve $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n$ olmak üzere

$\left( \sum _{k=1}^{n}a_{k}\right) \left( \sum _{k=1}^{n}b_{k}\right) \leq n\sum _{k=1}^{n}\left( a_{k}b_{k}\right)$

olduğunu kanıtlayın.

Comments

$a_1,...,a_n$) ,($b_1,...,b_n$ )artan yani ayni sirali chebyshev esitsizliğinin bir sonucu oluyor sanki 

---

 Hic bilmiyorum hocam ilk defa duydum hatta. Biraz arastirdim ama fazla karisik geldi

Answer 1

$$(a_1+a_2+a_3+...+a_n)\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)$$ = $$a_1\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)+a_2\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)+a_3\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)+...+a_n\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)$$ =

$$(a_1b_1+a_1b_2+a_3b_3+...+a_1b_n)+(a_2b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_2b_n)$$   $$+...+(a_n.b_1+a_nb_2+a_nb_3+...a_nb_n)$$ olur. Herbir parantez içler için aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir.

$$(a_1b_1+a_1b_2+a_3b_3+...+a_1b_n)=\leq n.a_1.b_1$$

$$(a_2b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_2b_n)\leq n.a_2.b_2$$

$$.........................................$$

$$(a_n.b_1+a_nb_2+a_nb_3+...a_nb_n)\leq n.a_n.b_n$$ Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa 

$$n\left(a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3+...+a_n.b_n \right)$$  ve $$\leq n\sum_{k=1}^na_k.b_k$$ olur

Comments

Hocam sanki orada bir yerde $a_1 b_k\leq a_1 b_1$ gibi bir varsayım var ama $a_1$in pozitif olduğu söylenmiyor soruda?