${\prod\limits_{p\:asal}\frac{(1+p^{-2})}{(1-p^{-2})}=\frac{5}{2}\pi^2}$ eşitliğini ispatlayın

Question

$${\large\prod\limits_{p\:asal}\frac{(1+p^{-2})}{(1-p^{-2})}=\frac{5}{2}\pi^2}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

Şöyle bir fonksiyon yazalım :

$${\Omega(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\bigg)}$$

Bu fonksiyonu zeta fonksiyonu ile yazmaya çalışalım.Zeta fonksiyonunu şöyle tanımlayabiliriz :

$${\zeta(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1}{1-p^{-s}}\bigg)}$$

Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

Gerekli işlemleri yaparak aşağıdaki eşitliği bulabiliriz.

$${\Omega(s)=\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}}$$

Soruda bizden istenen ${\Omega(2)}$ .

$${\Omega(2)=\frac{\zeta^2(2)}{\zeta(4)}}$$

${\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}}$ ve ${\zeta(4)=\frac{\pi^2}{90}}$ olduğunu biliyoruz.Eşitlikte yerine yazalım.

$${\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}}$$

$$\large\color{red}{\boxed{\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-2}}{1-p^{-2}}\bigg)=\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}=\frac{5}{2}\pi^2}}$$

Comments

Soru ile verilen cevap farkli..

---

Eksi işaretini koymayı unutmuşum.Düzelttim.

Neredeyse her yazımda yazım hataları yapıyorum , o kadar kontrol ettiğim halde.

---

Ben de hangisini yanlis yazdin onu kavrayamadim. Ondan sana biraktim. Zaten $\Omega$ icin esitlik cevaptaki ilk verilen tanima uymuyordu. 

Bu omega fonksiyonu ozelligi olan bir fonksiyon mu? zeta fonksiyonu gibi..

---

Omega fonksiyonu benim uydurduğum bir fonksiyon.Daha kolay anlaşılması için yazmıştım.