${\psi(s+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\frac{s}{k(s+k)}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\psi(s)}$ digama fonksiyonu ve ${\gamma}$ euler-mascheroni sabiti olmak üzere :

$${\large\psi(s+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\frac{s}{k(s+k)}}$$

$$s\neq-1,-2,-3,...$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

Gama fonksiyonu ve ${e}$ sayısı için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$${\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt}$$

$${e^{-t}=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^n}$$

Gama fonksiyonunda ${e^{-t}}$ yerine yukarıda verdiğimiz eşitliği kullanalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^ndt}$$

Sadeleştirmeler yapalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(\frac{t-n}{n}\bigg)^ndt}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\int_0^n t^{s-1}\big(n-t\big)^ndt}$$

${(n-t)^n=u}$ ve ${t^{s-1}=dv}$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n}{s}\int_0^n t^s\big(n-t\big)^{n-1}dt}$$

Aynı şekilde toplamda ${n}$ kadar kısmi integral alalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n-1)}\int_0^n t^{s+n-1}dt}$$

İntegrali alalım ve sadeleştirelim.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}n^{s+n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\frac{n!}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

${\Gamma(s)}$ yerine ${\Gamma(s+1)}$ yazalım.

$${\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}n^s\frac{n!}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

Her iki tarafıda ${\ln}$ parantezine alalım ve sadeleştirelim.

$${\ln\Gamma(s+1)=\lim\limits_{n\to\infty}\ln\bigg(n^s\frac{n!}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s++n)}\bigg)}$$

$${\ln\Gamma(s+1)=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(\ln(n!)+s\ln(n)-\ln(s+1)-\ln(s+2)-\ln(s+3)-...\bigg)}$$

Her iki tarafı ${s}$ e göre türevini alalım ve sadeleştirelim.

$${\frac{d}{ds}\ln\Gamma(s+1)=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(\ln(n)-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\frac{1}{s+3}-...\bigg)}$$

$${\frac{d}{ds}\ln\Gamma(s+1)=\lim\limits_{n\to\infty}\ln(n)-\bigg(\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3}+...\bigg)}$$

$${\frac{d}{ds}\ln\Gamma(s+1)=\lim\limits_{n\to\infty}\ln(n)-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{s+k}}$$

Digama fonksiyonu ve euler-mascheroni sabiti için aşağıdakiler yazılabilir.

$${\psi(s)=\frac{d}{ds}\ln\Gamma(s)=\frac{\Gamma^{'}(s)}{\Gamma(s)}}$$

$${\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$$

$${\lim\limits_{n\to\infty}\ln(n)=-\gamma+\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}$$

Bu eşitlikleri kullanalım.

$${\psi(s+1)=-\gamma+\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{s+k}}$$

$${\psi(s+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{s+k}}$$

$${\large\psi(s+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\frac{s}{k(s+k)}}$$