Defterde karalamalar yaparken şöyle bir şey düşündüm ; {\mathbb{Q}} rasyonel sayılar kümesi olmak üzere {s(\mathbb{Q})} ifadesini {s(\mathbb{Z})} gibi ifadelerle yazabilir miyiz?
Önce {\mathbb{Q}^+} kümesinin elemanlarını yazmaya çalışalım.
{\frac{1}{n}} li terimler yazalım.
{\large\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}\tag{1}...}
Şimdi {\frac{2}{n}} li terimler yazalım.Ama burada bazı terimleri çıkartmamız lazım çünkü , 1.ifadedeki bazı terimler burda da var.Çıkarttığım terimlerin üst kısmına {*} koyuyorum ki anlaşılsın.
{\large\frac{2}{1},\frac{2^*}{2},\frac{2}{3},\frac{2^*}{4},\frac{2}{5},\frac{2^*}{6},\frac{2}{7},\frac{2^*}{8},\frac{2}{9},\frac{2^*}{10},\frac{2}{11},\frac{2^*}{12}\tag{2}...}
Aynı şeyleri {\frac{3}{n}} içinde yapalım.
{\large\frac{3}{1},\frac{3}{2},\frac{3^*}{3},\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{3^*}{6},\frac{3}{7},\frac{3}{8},\frac{3^*}{9},\frac{3}{10},\frac{3}{11},\frac{3^*}{12}\tag{3}...}
Bunu böyle sonsuza kadar devam ettirirsek {\mathbb{Q}^+} kümesinin bütün elemanlarını yazmış oluruz.Şimdi bu yaptıklarımıza göre {s(\mathbb{Q}^+)} ifadesini bulmaya çalışalım.
{1} numaralı ifadedede {s(\mathbb{Z^+})} kadar terim var.
{2} numaralı ifadede , her iki terimden sadece {1} tanesi var.Yani terim sayısı {\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)}
{3} numaralı ifadede {\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)} kadar terim var.
{\large.}
{\large.}
{\large.}
Bu eleman sayılarının hepsinin toplamı bize {s(\mathbb{Q}^+)} ifadesini verir.Toplayalım o zaman.
{\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})+\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{4}s(\mathbb{Z}^+)+...}
{s(\mathbb{Z^+})} parantezine alalım.
{\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}
{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}} yerine , harmonik seri olan {H_n} yazalım.
{\large s(\mathbb{Q}^+)=\lim\limits_{n\to\infty} s(\mathbb{Z^+})H_n}
{s(\mathbb{Z^+})} ifadesini eşitliğin diğer tarafına yazalım.
{\large \frac{s(\mathbb{Q}^+)}{s(\mathbb{Z^+})}=\lim\limits_{n\to\infty} H_n}
Şimdi benim sorum ; Yaptığım işlemler doğrumu?
{\lim\limits_{n\to\infty} H_n} ifadesi {\infty} a eşit olduğundan ifade doğru olması lazım?