${\Gamma(t)=\frac{e^{-\gamma t}}{t}\prod_{n=1}^\infty\big(1+\frac{t}{n}\big)^{-1}e^{\frac{t}{n}}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\Gamma(t)}$ gama fonksiyonu ve ${\gamma}$ euler-mascheroni sabiti olmak üzere :

$${\large\Gamma(t)=\frac{e^{-\gamma t}}{t}\prod_{n=1}^\infty\bigg(1+\frac{t}{n}\bigg)^{-1}e^{\frac{t}{n}}}$$

eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

Gama fonksiyonu ve ${e}$ sayısı için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$${\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt}$$

$${e^{-t}=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^n}$$

Gama fonksiyonunda ${e^{-t}}$ yerine yukarıda verdiğimiz eşitliği kullanalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^ndt}$$

Sadeleştirmeler yapalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(\frac{t-n}{n}\bigg)^ndt}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\int_0^n t^{s-1}\big(n-t\big)^ndt}$$

${(n-t)^n=u}$ ve ${t^{s-1}=dv}$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n}{s}\int_0^n t^s\big(n-t\big)^{n-1}dt}$$

Aynı şekilde toplamda ${n}$ kadar kısmi integral alalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n-1)}\int_0^n t^{s+n-1}dt}$$

İntegrali alalım , sadeleştirelim ve ayrı ayrı ifadeler halinde yazalım.

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}n^{s+n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$

$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\bigg(\frac{1}{s+1}\bigg)\bigg(\frac{2}{s+2}\bigg)\bigg(\frac{3}{s+3}\bigg)\bigg(\frac{4}{s+4}\bigg)...\bigg(\frac{n}{s+n}\bigg)}$$

Daha kolay anlaşılması için her iki tarafın çarpımsal tersini alalım:

$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}(s+1)\bigg(1+\frac{s}{2}\bigg)\bigg(1+\frac{s}{3}\bigg)...\bigg(1+\frac{s}{n}\bigg)}$$

İfadeyi sonsuz çarpım olarak yazalım.

$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)}$$

Çarpım sembolünden önce ifadeye ${e^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n})}}$ ve çarpım sembolünden sonra da ifadeye ${e^{-\frac{s}{k}}}$ ekleyelim.

$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}e^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n})}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$

${n^{-s}}$ ifadesini de ${e}$ üzerine alalım.

$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}se^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n}-\ln(n))}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$

Euler-mascheroni sabitinin tanımı şöyledir :

$${\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$$

İfademizi buna göre düzenleyelim.

$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}se^{s\gamma}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$

Şimdi her iki tarafın çarpımsal tersini alalım:

$${\large\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{e^{-s\gamma}}{s}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)^{-1}e^{{\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$

Comments

Euler-Marcheroni sabitinin tanımındaki limitin yakınsak olduğunu da göstermek gerek.

Son satıra geçerken $1$'e bölmek yerine çarpımsal tersini alıyoruz.