Değişmeli bir halkanın yapı balyasına (structure sheaf) dair

Question

$R$ değişimeli ve birim elemanlı bir halka $\mathfrak{p}\subseteq R$ asal bir ideal olsun. $$\lim_{\substack{\longrightarrow \\ f\in A-\mathfrak{p}}}A_f\simeq A_{\mathfrak{p}}$$ olduğunu gösterin.

Comments

Sheaf'e Türkçe karşılık olarak cebirsel geometriciler balya kelimesini kullanıyorlarmış. Bir ara demet diye kullandığım yanıtları da değiştirmek gerek.

---

Ben bu ileri limiti kesisim olarak aliyorum genelde (aslinda hep,gercek tanimini bilmiyorum, kesisim gibi davraniyorum). O zaman da $A_f$'lerin kesisimi $A_p$ deyip benim icin ic rahatlatma ispati bitmis oluyor. 

---

ileri limit kesişim değil, birleşim olarak düşünülebilir. Kümelerdeki birleşmenin evrensel özelliğini sağlıyor çünkü.

---

Birlesim geri limit degil miydi .s (burdaki "notation 4.1" witt)

---

$A=\{x\}$, $B=\{y,z\}$, $C=\{u,v\}$ olsun ve $A$'dan $B$'ye giden fonksiyon olarak, $x$'i $y$ ile eşleştiren, $A$'dan $C$'ye giden fonksiyon olarak da $x$'i $u$ ile eşleştiren fonksiyonu al. Bu durumda elinde bir doğrudan sistem var ve $B$ ile $C$'nin birleşiminde $y$ ile $u$'yu yapıştırmışsın. Yani doğrudan limit birleşim al diyor ve aradaki fonksiyonlar da birleşim aldıktan sonra neyle neyi yapıştıracağını söylüyor.

Answer 1

$A_\mathfrak{p}$'nin birazdan tanimlayacigimiz $(\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemi sayesinde soldaki dogrudan limitin evrensel ozelligini sagladigini gosterelim:

Oncelikle $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin $A_f$'deki kesirleri $A_\mathfrak{p}$'deki ayni pay ve paydaya sahip kesirlere goturerek (veya "$f$'nin $A_\mathfrak{p}$'de tersinir oldugunu" gorup $A_f$'nin evrensel ozelligini kullanarak) bir $\alpha_f : A_f \to A_\mathfrak{p}$ morfizmasi elde ederiz. Ayrica farkli $f$'ler icin bu morfizmalar birbirleriyle uyumludur.

Simdi $B$ bir (degismeli ve birimli) halka, $(\phi_f : A_f \to B)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ de dogrudan sistemle uyumlu bir morfizma sistemi olsun. $\phi := \phi_1 : A \cong A_1 \to B$'ye bakalim. $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin $\gamma_{f,1}: A \cong A_1 \to A_f$ dogrudan sistemdeki morfizma olsun olsun. O zaman, biraz notasyon suistimali yaparak, $$1 = \phi_f(1) = \phi_f\left(f \cdot \frac{1}{f}\right) = \phi_f(\gamma_{f,1}(f)) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) = \phi(f) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right)$$ oldugunu goruruz, yani $\phi(f)$, $B$'de tersinirdir. Bu esitlik her $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin gecerli oldugundan bu bize $A_\mathfrak{p}$'nin evrensel ozelligi sayesinde $\phi = \phi' \circ \alpha_1$ olacak bicimde bir (ve bir tek) $\phi': A_\mathfrak{p} \to B$ morfizmasi verir. Ayrica bu durumda $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin gercekten de $\phi_f = \phi' \circ \alpha_f$ olur, cunku hem $\phi_f$ hem de $\phi' \circ \alpha_f$, "$f$'yi $B$'de tersinir yapan" $\phi_1$ morfizmasini $\gamma_{f,1}$'den gecerek $A_f$'ye tasiyan morfizmalardir ve $A_f$'nin evrensel ozelligi yuzunden bu kosulu saglayan tek bir morfizma vardir. Sonuc olarak gercekten de bu tur bir $(\phi_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemini $(\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemi uzerinden carpanlara ayirtan bir ve bir tek $\phi': A_\mathfrak{p} \to B$ morfizmasi vardir.

"Birlesim" meselesine gelince, bu dogrudan limiti tum $A_f$'lerin birlesimi olarak dusunmek her zaman dogru olmasa da cok da kotu bir benzetme degil. Nitekim eger $A$ bir tamlik bolgesiyse sozu gecen tum yerellestirmeleri $A$'nin kesirler cisminin althalkalari olarak gorebiliriz ve bu durumda gercekten de $A_\mathfrak{p} = \cup_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} A_f$ olur.