${\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} }$ olduğunu kanıtlayın

Question

$${\large\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} }$$

olduğunu kanıtlayın.

Answer 1

Bu integral özel bir integraldir.Gauss integrali olarak geçer.

İntegralimiz:

$${\large I= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx }$$

Karesini alalım ve çift katlı bir integral olarak yazalım :

$${\large I^2= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy}$$

$${\large I^2= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy}$$

$${\large I^2= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy}$$   

$${\large I^2= \int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dS \tag{dS=dxdy}}$$

İntegrali polar koordinatlara dönüştürelim.İntegral ${\mathbb{R}^2}$ de olduğundan sınır değerlerimiz ${(0,2\pi)}$ ve ${(0,\infty)}$ olacak.${(0,\infty)}$ olma nedeni , polar koordinatlarda ${r}$ değerinin  yani uzunluğun ${0}$ dan küçük olamamasıdır.

$${\large I^2= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-((r\cos(\theta))^2+(r\sin(\theta))^2)}rdrd\theta}$$  

Sadeleştirelim.

$${\large I^2= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))}rdrd\theta}$$  

$${\large I^2= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta}$$  

${\eta=-r^2}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large I^2=-\dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{-\infty}e^\eta d\eta d\theta}$$  

Dışarıdaki eksi ile integralin sınır değerlerinin yerlerini değiştirelim ve integrali bulalım.

$${\large I^2=\dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^\eta d\eta d\theta}$$  

$${\large I^2=\dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}  [e^\eta]_{-\infty}^0 d\theta}$$  

$${\large I^2=\dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 1d\theta}$$  

Son integralide kolay bir şekilde alabiliriz.

$${\large I^2=\dfrac{1}{2}[\theta]_0^{2\pi}}$$  

$${\large I^2=\dfrac{1}{2}2\pi=\pi}$$  

Bize soruda ${I}$ soruluyor , o halde sonucu :

$${\large I=\sqrt{\pi}}$$  

olarak buluruz.