Question

Çift katlı integralde polar koordinat dönüşümü nasıl yapılır?

Answer 1

İntegral değişkenleri $(\xi, \eta)$ olsun. Bu koordinat takımından $$\begin{align} \xi=u \cos v \\ \eta=u \sin v \end{align}$$ dönüşümüyle $(u,v)$ takımına geçmek isteyelim. Bu durumda, $$I=\int\int f(\xi, \eta)\,d\xi\, d\eta$$ integrali de $$\int\int F(u, v)|J|\,du\, dv$$ haline girer. Burada $F(u,v)=f[\xi(u,v),\eta(u,v)]$, $|J|$, Jakobiyen matrisinin determinantıdır ve bu özel durum için $|J\,|=u$'dur. Herşeyi toplarsak sonuçta istenen bulunur:   $$I=\int\int  F(u, v)u\,du\, dv.$$

Answer 2

Acemice yazmış olabilirim , kusura bakmayın :)

Çift katlı intagrallerde polar koordinat dönüşümü , kartezyen koordinat sistemi ile çözülmesi zor olan integralleri daha kolay çözmemize yardımcı olur. Polar koordinat sisteminde bildiğimiz gibi iki değişken vardır , bunlar; ${r}$(modül,uzunluk) ve ${\theta}$(argüment,açı). Buradan anlaşılacağı üzere ${r>0}$. Kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine geçerken ${F(x,y)}$ fonksiyonu için aşağıdaki işlemler yapılır.

$${x=r\cos(\theta)}$$

$${y=r\sin(\theta)}$$

Fonksiyonumuzu polar koordinatlara çevirdik.Şimdi integralle ilgilenelim.Fonksiyonu her birinin alanı ${dA}$ olan sonsuz eşit parçaya bölelim.



${dA}$ nın bir kenarının uzunluğu ${dr}$ , diğer kenarının uzunluğu ise ${rd\theta}$.Yani ${dA=rdrd\theta}$

${rd\theta}$ daki ${r}$ nin gelme amacı çemberin özelliğinden.Yarıçapı ${r}$ olan bir çemberde ${\alpha}$ açısının gördüğü yayın uzunluğu ${d_{yay}=r\alpha}$ olarak ifade edilebilir.

O halde integralimizi artık polar koordinat sistemi ile yazabiliriz.

$${\large \iint\limits_D F(x,y)dA=\iint\limits_I F(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) rdrd\theta}$$

Şimdi birkaç soru çözücem.Daha iyi anlaşılabilir.

$${\Large1.Soru}$$

${\large\iint\limits_D 2xydxdy=?}$ ,  ${D: [0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}}$  ${0\le x^2+y^2\le4}$

Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim.

$${\large\iint\limits_D 2r\sin(\theta)r\cos(\theta)rdrd\theta}$$

Sadeleştirelim ve sınır değişkenlerini yazalım.

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 2r^3\sin(\theta)\cos(\theta)drd\theta}$$

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 r^3\sin(2\theta)drd\theta}$$

İçerideki integrali hesaplayalım.

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}} \huge[\large\frac{r^4}{4}\huge]_0^2\large\sin(2\theta)d\theta}$$

$${\large4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta) d\theta}$$

Diğer integrali çözelim.

$${\large 4\huge[\large-\dfrac{\cos(2\theta)}{2}\huge]_0^{\frac{\pi}{2}}\large=2}$$

olarak buluruz.

$${\Large 2.Soru}$$

${\large\iint\limits_D (4-x^2-y^2)dxdy=?}$    ${D: [0,2\pi]\to\mathbb{R}}$  ${2\le x^2+y^2\le4}$

Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim ve trigonometriden yararlanarak sadeleştirelim.

$${\large\iint\limits_D (4-(x^2+y^2))dxdy}$$

$${\large\iint\limits_D (4-((r\sin(\theta))^2+(r\cos(\theta))^2))rdrd\theta}$$

$${\large\iint\limits_D (4-r^2(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)))rdrd\theta}$$

$${\large\iint\limits_D (4r-r^3)drd\theta}$$

Sınır değişkenlerini yazalım

$${\large\int_0^{2\pi}\int_{\sqrt{2}}^2 (4r-r^3)drd\theta}$$

İçerideki integrali alalım.

$${\large\int_0^{2\pi} \huge[\large\frac{4r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\huge]_{\large\sqrt{2}}^2\large d\theta}$$

$${\large\int_0^{2\pi}  d\theta}$$

Diğer integrali alalım.

$${\large[ \theta]_0^{2\pi} =2\pi}$$

olarak buluruz.

Comments

İkinci integralde iç ifade parantez içinde olmalı. İşlem yaparken de parantezler unutulmuş. Ayrıca integraller arası eşitlikler de. Eline sağlık.

---

Teşekkürler hocam.

"İkinci integralde iç ifade parantez içinde olmalı"  , burada dediğinizi tam olarak anlayamadım?

---

$(4-x^2-y^2)$.   

---

Düzelttim hocam.

Answer 3

@Yasin Şale hocamın yazdığını farklı bir şekilde bende yazayım.

${F=(x,y)}$ fonksiyon olmak üzere , aşağıdaki gibi bir integralimiz olsun.

$${\large\iint\limits_D F(x,y)dxdy}$$

İntegrali kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine taşıyalım.

$${x=r\cos(\omega)}$$

$${y=r\sin(\omega)}$$

$${\large\iint\limits_D F((r\cos(\omega)),(r\sin(\omega)))|J|dr d\omega}$$

Jacobian matrisinin determinantını bulalım.

$${\large |J|=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \omega} \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \omega}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos(\omega)&-r\sin(\omega)\\ \sin(\omega)&r\cos(\omega) \end{vmatrix}=r\cos^2(\omega)+r\sin^2(\omega)=r}$$

Ve sonuç olarak :

$${\large\iint\limits_D F(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_1} F((r\cos(\omega)),(r\sin(\omega))) rdrd\omega}$$

olarak buluruz.