Question

$\forall n\geq2$ icin ,

  $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+y^{n-1})$

eşitliğini kanitlayin. Buradan her $p$ ve $q$ tamsayilari için $p-q$ sayisinin $p^n-q^n$ sayisini boldugunu, dolayisiyla katsayilari tamsayi olan her $f$ polinomu için $p-q$ sayisinin $f(p)-f(q)$ sayisini boldugunu kanitlayin.

[Aslinda ilk eşitliği gosterebilseydim soruda bi sikintim olmayacakti. Eşitliği $n$ üzerinden tumevarimla göstermek istedim ama beceremedim. Soruda esas yardim istediğim kisim bu.]

Answer 1

ilk esitli icin:  $$a^n-1=(a^n+a^{n-1}+\cdots a)-(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$$ $$=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$$ esitligini gormek lazim. Simdi $a=x/y$ yazip $y^n$ ile carparsak sonuc elde edilir.  ($y=0$ durumu bariz zaten, onu atladim.)

Gerisini de halledilmisse, o da yoruma eklenebilir.

Comments

Tesekkur ederim hocam...:)

Esitligin varligini gosterildigine gore $(p-q)|(p-q)(p^{n-1}+...+q^{n-1})\Rightarrow(p-q)|(p^n-q^n)$ olduğunu gormek acik.

[Polinom tanimi: $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ biciminde yazılan ifadeye polinom denir. Burada $a_0,a_1,...,a_n$ polinomun katsayilaridir.]

Tanimdan faydalanarak

$f(p)=a_np^n+...+a_1p+a_0$

$f(q)=a_nq^n+...+a_1p+a_0$ yazilabilir.

$f(p)-f(q)=a_n(p^n-q^n)+...+a_1(p-q)$ olur.

 $(p-q)$ ile bolmek istediğimizde gösterdiğimiz eşitlik sayesinde

$(p-q)|(p^n-q^n) \Lambda ... \Lambda (p-q)|(p-q)$ oldugundan 

$\frac{f(p)-f(q)}{p-q}=a_n\frac{p^n-q^n}{p-q}+...+a_1\frac{p-q}{p-q}$ polinomu elde edilir. Yani $(p-q)|(f(p)-f(q))$ dur.

---

Peki Sercan hocam tumevarimla göstermeye calismak hata miydi? Yapılamaz mi?

---

Bu arada geometrik seri toplami icin bu esitligi bilmek ve iyi hissetmek lazim. Ondan acilimini yazdim. 

Onemine binaen linki biraz incelemeni tavsiye ederim: wikipedia-geometrik seri

---

$(a^{n+1}-1)-(a^n-1)=(a-1)a^n$ esitliginden tumevarim kullanilir.

---

Hemen inceliyorum..:)