Question

Littlewood'un ikinci ilkesini ispatlayın.

Answer 1

KSKY ekolüne devam. 

Öncelikle sözü edilen ilkeyi kabaca yazalım: Ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse süreklidir.

Anımsatma: Rudin'in Real and Complex Analysis kitabına göre ölçülebilir fonksiyon demek açık kümelerin öngörüntüsü ölçülebilir olan fonksiyon demek. Bu tarif sürekli fonksiyonun topolojik tanımıyla da bir hayli güzel bir biçimde uyumlu. Üstelik ölçülebilir bir fonksiyonun sürekli bir fonksiyonla soldan bileşkesinin yine ölçülebilir olması bu tanımla aşikar hale geliyor. Buradan da ölçülebilir fonksiyonlar ailesi ile ilgili pek çok önerme kolaylıkla ispatlanabilir. Örneği toplamsal kapalı ve çarpımsal kapalı olduğu, ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonlarının ölçülebilir olduğu vs. Konuyu daha fazla dağıtmdan sorunun çözümünü sürdürelim.

Evet, sözü edilen prensibi şimdi artık güzelce yazmalıyız çünkü ispat yapacağız. 

$f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında tanımlı olsun. $S$ ile de $f$'nin $\pm\infty$ değerlerini aldığı elemanların kümesini gösterelim: $$\{x\in[a,b]:f(x)=\pm\infty\}$$ Diyelim $\mu(S)=0$ olsun (Dışölçümü sıfır olan bir kümenin ölçülebilir olduğunu ispatlayabilir misiniz?). Bu durumda hata payı $\epsilon$'u ne kadar küçük alırsak alalım aşağıdaki şartları sağlayan $g$ ve $h$ fonksiyonlarını bulabiliriz:

1. $f$ süreklidir, $g$ adım fonksiyonudur ve $f$'nin değerlerinden uzaklıkları üzerindeki  $$\mu(\{x\in[a,b]:|f(x)-g(x)|\geq \epsilon\})<\epsilon,$$ ve  $$\mu(\{x\in[a,b]:|f(x)-h(x)|\geq \epsilon\})<\epsilon$$ sınırlamaları sağlanır.
2. Eğer $$k\leq f\leq K$$ eşitsizliğini sağlayan $k,K\in\mathbb{R}$ değerleri varsa, bir önceki şıktaki $g$ ve $h$ fonksiyonları da aynı eşitsizliği sağlayacak şekilde seçilebilirler.

İSPAT: Dört farklı iddiayı ispatlayarak ana teoremi ispatlayacağız:

Birinci iddia: Her $\epsilon>0$ için öyle bir $M$ pozitif reel sayısı vardır ki $$|f(x)|\leq M$$ eşitsizliği yalnızca ölçümü en çok $\epsilon/3$ olabilecek bir kümede yanlış olur.

İspat: $N$ pozitif doğal sayısı için $$S_N:=f^{-1}([-N,N]^c)=\{x\in[a,b]:|f(x)|>N\}\subseteq[a,b]$$ kümesini tanımlayalım. $[-N,N]^c$ açık bir küme olduğu için, ölçülebilir fonksiyonların tanımı gereği $S_N$ kümesi ölçülebilir bir kümedir. Ölçüm monoton olduğu için ve $S_N$ kümesi ölçümü sonlu olan $[a,b]$ kümesi içinde kaldığı için $S_N$'in ölçümü de otomatik olarak sonludur. Öte yandan şu da doğru: $$\bigcap_{N\in\mathbb{N}}S_N=S$$ Ölçümün sürekliliği özelliği sayesinde ve $S_0$'ın ölçümünün sonlu olduğu bilgisiyle şu sonuç ortaya çıkar: $$\mu(S)=\lim_{N\rightarrow \infty}\mu(S_N)$$ Ama $\mu(S)$ hipotezimiz gereği $0$. Yani $$\lim_{N\rightarrow \infty}=0$$ Limit tanımı gereği, bir $M$'den büyük her $n$ için $$\mu(S_n)\leq \epsilon/3$$ olmak zorundadır.

İkinci iddia: Ana teoremin şartlarını sağlayan bir $f$ için her $\epsilon>0$ ve her $M>0$ için aşağıdaki şartları sağlayan basit bir $\varphi$ fonksiyonu bulunabilir: (Basit fonksiyon demek, hem ölçülebilir hem de görüntü kümesi sonlu demek.):

1. $|f(x)|<M$ ise $|f(x)-\varphi(x)|<\epsilon$;
2. Eğer $k\leq f\leq K$ şartlarını sağlayan $k,K$ değerleri varsa, $\varphi$ de $$k\leq\varphi\leq K$$ eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçilebilir.

İspat: Ölçülebilir bir fonksiyon altında yarı açık, açık ve kapalı kümelerin öngörüntüleri ölçülebilirdir. Bu bilgiyi kullanacağız. Rastgele bir $\epsilon$, $M$ alalım ve  $r$'yi de $$\theta:=\frac{2M}{r}<\epsilon$$ eşitsizliğini sağlayacak kadar büyük bir tamsayı olsun ve $(-M,M)$ açık aralığını $\theta$ birimlik $r$ tane yarı-açık (ya da açık) kesişmeyen aralığa ayıralim. Daha açık olarak $$A_1=\Big(-M,-M+\theta\Big],\\ A_2=\Big(-M+\theta,-M+2\theta\Big]\\ \vdots\\ A_{k-1}=\Big(-M+(k-2)\theta,-M+(k-1)\theta\Big],\\ A_k=\Big(-M+(k-1)\theta,-M+k\theta\Big)=\Big(M-\theta,M\Big)$$ olsun. $A_i$'ler açık ya da yarı-açık oldukları için $f$ altındaki öngörüntüleri de ölçülebilir kümelerdir. Şimdi $\varphi$ fonksiyonunu $A_i$'ler üzerinde $x\longmapsto -M+\frac{2i-1}{2}\cdot\theta$ olarak tanımlayalım. Doğal olarak eğer $x$ herhangi bir $A_i$'nin içinde kalıyorsa $$|f(x)-\varphi(x)|<\epsilon$$ olacaktır. $[a,b]$ içinde olup da $A_i$'lerin hiçbirisinde olmayan elemanlarda $f$'nin görüntüsünün mutlak değeri $M$'den büyük demek. Ama o değerler için $\varphi$'nin sağlaması gereken bir kısıtlama yok. O halde o noktalar için $\varphi$'yi sabit $M$ olarak tanımlayabiliriz. Dikkat edilirse bu sözü edilen noktaların kümesi de ölçülebilir olmak zorunda. Dolayısıyla tanımlamş olduğumuz $\varphi$ fonksiyonu istenilen şartları sağlar.

İdianın son kısmını da ispatlamak ispatı buraya kadar anlamış herkesin kolaylıkla becerebileceği bir eylem olduğu için onu es geçerek üçüncü iddia ile ilgili kısma başlıyorum.

Üçüncü iddia: $[a,b]$ üzerinde tanımlı $\varphi$ fonksiyonu hem ölçülebilir hem de basit ise $[a,b]$ üzerinde tanımlı ve $$\mu\Big(\{x\in[a,b]:f(x)\neq g(x)\}\Big)<\epsilon/3$$ şartnı sağlayan bir $g$ adım fonksiyonu vardır.

İspat: Bunun için Littlewood'un birinci prensibini kullanacağız. $\varphi$ fonksiyonunun görüntü kümesi $c_1,\cdots,c_k$ olsun ve $E_i$ ile $\varphi$'nin $c_i$ değerini aldığı kümeyi gösterelim. $\varphi$ ölçülebilir bir küme olduğu için $E_i$ de ölçülebilir bir küme olacaktır. Ve üstelik

$$\varphi=\sum_{i=1}^kc_i\cdot \chi_{E_i}$$ denklemi de sağlanacaktır. $E_i$ ölçülebilir bir küme ve $[a,b]$'nin altkümesi, o halde ölçümü sonlu olmak zorunda. Birinci prensip gereği $E_i$ ile simetrik farkının ölçümü $\epsilon/3k$'dan küçük olan ve sonlu sayıda ayrık açık aralığın birleşimi olan bir $O_i$ kümesi bulunabilir. Şimdi $g$ adım fonksiyonunu bu $O_i$'ler üzerinde $c_i$ olarak tanımlayacağız ancak bir sorun var, $O_i$'ler hem kesişebilir hem de birleşimleri $[a,b]$'nin tamamını vermeyebilir. O yüzden biraz dikkat etmeliyiz. Öncelikle biraz daha rafine olalım ve $O_i$'leri kendilerini oluşturan ayrık açık kümeler cinsinden yazalım: $$O_i=I_{i1}\bigsqcup\cdots\bigsqcup I_{in_i}$$ Bu gösterimde geçen aralıkların kesişimleri de yine birer aralık olacaktır (boş olmazsa (Bkz: http://matkafasi.com/15648/rastgele-kesisimlerinin-araligin-birlesimine-gosteriniz)). O halde $O_i$'lerin birleşimini, ayrık $J_r$ aralıkların birleşimi biçiminde yazabiliriz. Her ne kadar bu yeni durumdaki aralıklar açık olmak zorunda olmasa da şu yeni ve yararlı özelliğe sahip olacaktır: $J_r\cap E_i\neq\emptyset$ ise $J_r\subseteq E_i$ olur. Dahası, eğer $J_r$ hiçbir $E_i$'nin içinde değilse ölçümü en çok $\epsilon/3k$ kadar olabilir ve dışarda kalan $J_r$'lerin toplam ölçümü de $\epsilon/3$ değerini geçemez.

Artık adım fonksiyonumu $g$'yi tanımlayabiliriz. Adım fonksiyonumuz $g$, $J_r\subset E_i$ ise $J_r$ üzerinde $c_i$'ye eşit olsun. $J_r$'lerin $E_i$'lerin içinde kalmayan kısmının $[a,b]$ ile kesişimi de yine aralıkların birleşiminden oluşacaktır. Bu küme üzerinde $g$'yi için rastgele sabir bir değer atanabilir. Nihayet tanımlamış olduğumuz $g$ fonksiyonu iddiada konulmuş bir şartları sağlamaktadır.

Dördüncü adımı sonra yazacağım. Sekiz bin karakter sınırına dayanmışım, ikinci yanıta kaldı devamı.

Comments

Dördüncü iddiaya geçmeden önce ilk üç iddianın sonuçlarını kullanarak ana teoremin adım fonksiyon kısmıyla ilgili kısmının ispatını tamamlayalım. Bunun için ilk üç iddia yeterli.

$\epsilon>0$ verilmiş olsun. Birinci iddia gereği öyle bir $M$ sayısı vardır ki $$|f(x)|<M$$ şartı, ölçümü $\epsilon/3$'ten küçük bir kümede doğru olmayabilir. İkinci iddia gereği $$|f(x)|< M\Longrightarrow |f(x)-\varphi(x)|<\epsilon$$ şartını sağlayan basit bir $\varphi$ fonksiyonu bulabiliriz. Öte yandan, üçüncü iddia sayesinde de öyle bir $g$ adım fonksiyonu bulabiliriz ki, bu adım fonksiyonu $$g(x)=\varphi(x)$$ eşitliğini ölçümü en çok $\epsilon/3$ olan bir küme üzerinde sağlamayabilir, geri kalan her yerde sağlar. Açık ki bu bulunan $g$ fonksiyonu ana teoremin iler sürdüğü şartları sağlar.

Sırada sözü edilen tipte sürekli bir fonksiyon bulmak var. Bunun için de adım fonksiyonumuzu kullanacağız:

Dördüncü iddia: $[a,b]$ üzerinde tanımlı bir $g$ fonksiyonuna sürekli bir fonksiyonla yeterince yaklaşabiliriz. Yani, öyle bir sürekli $h$ fonksiyonu bulabiliriz ki $$g(x)\neq h(x)$$ eşitsizliği, ölçümü en çok $\epsilon/3$ olan bir kümede sağlanır.

İspat: Bu çok aşikar. Adım fonksiyonunun sıçrama yaptığı sonlu sayıda nokta var. O noktalarda süreklilik araya lineer bir fonksiyon sıkıştırılarak yapılabilir. Ayrıntılar öğrencilere.

Açık ki bu son iddiayı ilk üç iddiayı kullanarak bulduğumuz adım fonksiyonuna uygularsak, ana teoremin aradığı sürekli fonksiyonu bulmuş oluruz.