Ölçülebilir kümelerle ölçülemez kümeler arasındaki bir farka dair

Question

Aslında bir fark değil, ayrışmayı tamamen belirleyen bir özellik.

Çalışma Reel sayılar dünyasında çalışıyoruz ve $\mu^*$ ile klasik dışölçümümüzü gösterelim. Hatta bu tanımı anımsatayım:

$E\subseteq \mathbb{R}$ olsun, $I$ bir açık aralıksa $l(I)$ ile $I$'nın boyunu gösterelim. Bu kabuller ışığında $$\mu^*(E):=\inf_{\substack{E\subseteq \cup_{n\in\mathbb{N}}I_n}}\sum_{n\in\mathbb{N}}l(I_n)$$

Sorunun ilk kısmı şu:

Eğer $E$ dışölçümü sonlu bir küme ise her $\epsilon>0$ için $O_{\epsilon}=O\supseteq E$ ve $$\mu^*(O)-\mu^*(E)\leq \epsilon$$ şartlarını sağlayan açık bir $O$ kümesi vardır. Dolayısıyla da $$\mu^*(O_E)-\mu^*(E)=0$$ şartını sağlayan bir $O_E\in G_{\delta}$ kümesi vardır. ($G_{\delta}$ ile anlatılmak istenen, açık kümelerin sayılabilir kesişimlerinden oluşan kümelerin kümesi)

İkinci kısım:

Ölçülebilir kümelerin kopartılabilme özelliği vardır. Yani: Eğer $E$ ölçülebilir ve $F\supseteq E$ rastgele ise ve $\mu(E)<\infty$ ise $$\mu^{*}(F-E)=\mu^*(F)-\mu^*(E)$$ eşitliği sağlanır. (Bunu göstermek için ölçülebilir kümenin tanımını bilmeniz gerek.)

Üçüncü kısım: 

Eğer $E$ ölçülebilir bir küme ise birinci kısımdaki $O_{\epsilon}$ kümesini $$\mu^*(O-E)\leq \epsilon$$ eşitsizliğini sağlayacak biçimde, $O_E$ kümesini de $$\mu^*(O_E-E)=0$$ eşitliğini sağlayacak biçimde seçebiliriz.

Dördüncü kısım:

Üçüncü kısmı sağlayan bir küme ölçülebilir olmak zorundadır. Yani her $\epsilon>0$ için  $$\mu^*(O_{\epsilon}-E)\leq\epsilon$$ şartını sağlayan ve $E$'yi içeren bir $O_{\epsilon}$ kümesinin varlığı $E$'nin ölçülebilir olmasını zorlar.

Comments

E sonlu dış ölçüye sahip olup ölçülebilir olmasaydi OE-E nin dış ölçüsü için ne söylenebilirdi