Question

$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \dfrac2{(2k+1)^3}$ toplaminin degerini bulunuz.

Comments

Esit oldugu deger ilgili soruda mevcut.

---

$\large\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^3} = \frac{7\pi^3}{64}$ olduğunu buldum ama ${(-1)^n}$ gelince bir sonuca ulaşamadım.

---

onu nasil buldugun da onemlli. soyle yapabilirsin mesela ikili ikili toplayip eksi isaretinden kurtulabilirsin.

---

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}=1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^3}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^3}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^3}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^3}-1=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}-\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}-1=\frac{7}{8}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}-1$$

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^3}=\frac{7}{8}\zeta(3)-1$$

---

İlk eşitliği nasıl yazdığınızı açıklayabilirmisiniz?

---

Farklı bir şekilde bende yazayım.

${\large\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3}=(\frac{1}{1})^3+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{5})^3+(\frac{1}{7})^3+(\frac{1}{9})^3+...}$

${\large\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3}+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{4})^3+(\frac{1}{6})^3+...=(\frac{1}{1})^3+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{4})^3+...}$

${\large\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3}+(\frac{1}{2})^3((\frac{1}{1})^3+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{4})^3+...)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}}$

${\large\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3}+\frac{1}{8} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}}$

${\large\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{7}{8}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}=\frac{7}{8}\zeta(3)}$

---

Bu farklı bir sorunun cevabı. Başındaki $(-1)^n$ dahil edilmemiş.

---

Ilk esitlik icin.. Soldaki seri butun pozitif tamsayilar uzerinden, sagdaki ilk seri cift sayilar uzerinden ve ikinci seri tek sayialr uzerinden toplam, boylece esitlik saglanir, acilinca gorulur sanirsam..

---

$$\zeta(3)\ne\frac{\pi^3}{8}\rightarrow \frac{7}{8} \zeta(3)\ne\frac{7\pi^3}{64}$$

Bildigim kadariyla $\zeta(s)$ isin kompakt bir gosterimi yok eger $s$ tek ise.

---

Alterne Riemann Zeta fonksiyonuna Dirichlet Eta fonksiyonu denir. Ve aralarinda soyle bir iliski var..

$$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$$

Tabi soru tek sayilar uzerinden alterne oldugundan bu  esitlik modifiye edilmelidir..

---

Doğru söylüyorsunuz ${\zeta(3)\ne\large\frac{\pi^3}{8}}$ .Ben neden öyle birşey yazdım anlamadım.

Answer 1

${\large\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}}$

Bizim soruda ${s=3}$

${\large\beta(2k+1)=\Large\frac{(-1)^kE_{2k}^{}\pi^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!}}$

${\large \beta(s):}$ Dirichlet beta fonksiyonu

${\large E_{n}^{}:}$ Euler sayıları

Bizim soruya göre ${k=1}$ , o halde cevap :

${\large E_{2}^{}=-1}$

${\Large\frac{(-1)(-1)\pi^{2+1}}{4^{1+1}(2)!}=\huge\frac{\pi^3}{32}}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number

Comments

Yöntem doğru lakin yazım iyi değil. Buna bir çözüm bulmak lazım? Matematiksel yazımı da öğrenmek lazım yavaş yavaş. Bunun için kitap vs okunabilir, iyi anlaşılan matematikçilerin yazı sitilleri incelenebilir. Bunu güzel yazana kadar söylerim. 

---

Hocam yazımda tam olarak ne var , neresi kötü ? İyi yazılmış bir yazı örneği gösterebilir misiniz? Bu arada liseden bu yıl mezun oldum , yani matematik konusunda çok fazla bilgim yok.Kendi çabalarımla oradan buradan bir şeyler öğrenmeye çalışıyorum.

---

Bu sekilde ogrenme isteginin olmasi cok iyi. Senin icin bir cevap ekledim. Tamamen aynisi sadece aralara yazi ekledim. Yoruma yazacaktim ama diger insanlar da faydalansin.

---

Ben yazdigim icin iyi demiyorum bu arada. Ben de iyi yazmaya calisiyorum, bu konuda kendimi gelistirmeye calisiyorum.

---

Nesi kotunun cevabi da su: $\beta(s)=\cdots$ demissin, $\beta$ nedir belirsiz, kafana gore bir fonksiyon mu tanimliyorsun vs. Sonra $E_{2k}$ var, onun da ne oldugu belirsiz. Sonradan adlarini soylemissin.

Okuyucu okurken senin ne dedigini daha onceden bilmeli ki okunasi olsun. Islemler anlasilsin. Aralarda da neler yaptigini soylemelisin ki, kisi ekstradan senin sarf ettigin eforu sarf etmesin.

Answer 2

$\beta$ Dirichlet beta fonksiyonu ve $E_{n}$ de $n$. Euler sayisi olsun.  Dirichlet beta fonksiyonunun tum $k \in \mathbb Z^+$ icin  $$\beta(2k+1)=\frac{(-1)^kE_{2k}\pi^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!}$$  esitligini sagladigini biliyoruz. $k=1$ icin $E_{2k}=E_2=-1$ ve $$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\beta(3)=\frac{(-1)^1E_{2}\pi^{3}}{4^{2}\cdot2!}=\frac{\pi^3}{32}.$$ Oyleyse $$\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{16}$$ olur.

Comments

Bertan arkadasimizin yazdigiyla ayni fikir.

---

Hocam sizin yazınız benimkinin yanında çok daha profesyonelce görünüyor :) Mesela ben ${k \in \mathbb Z^+}$ ifadesini yazmamışım , önemli bir nokta bu.Bende bundan sonra daha iyi yazmaya çalışacağım.