$n$ farklı renkte çubuk kullanarak yapılabilecek ızgara sayısı

Question

Elimizde $n$ farklı renkte, her renkten de sonsuz tane çubuk olsun. Bu çubuklarla birbirinden temelde farklı olmak üzere (yani simetrik ve döndürme durumlarında aynı kalmayacak) kare şeklinde kaç ızgara yapılabilir.

(Not : Soruyu sayma kullanılarak çözmek zor duruyor. Grup etkisi kullanarak çok güzel çözülebileceğini keşfettim, paylaşmak istedim.)

Comments

Çözümünüzü bizimle paylaşmak istermisiniz?

Answer 1

Toplamda $n^4$ farklı ızgara yapabileceğimizi biliyoruz. Bunlardan bazıları temelde birbiriyle aynı. Bu $n^4$ ızgaranın kümesine $K$ diyelim. Bunlar kare şeklinde olduğu için $D_8$'in $K$ üzerine bir etkisi var. Burnside teoremini kullanırsak : 

$x = \frac{1}{8}\sum_{g\in G} \chi(g)$, $x$ temelde farklı ızgara sayısı ve $\chi(g)$, $g$'nin sabitlediği eleman sayısı. 

$D_8$'in içindeki rotationlara bakalım.

Birim eleman $n^4$ elemanın hepsini sabitliyor. 

İki tane $90$ derece rotation var. Bu rotationların bir elemanı sabitlemesi için tüm kenarları aynı renkte olmalı. Öyleyse $n$ eleman sabitliyorlar. 

$180$ derece rotationa bakalım. Bu rotationın bir elemanı sabitlemesi için üst-alt ve sağ-sol kenarları aynı renkte olmalı. Öyleyse $n^2$ eleman bu rotation tarafından sabitleniyor.

Şimdi simetrilere bakalım. İki diyagonal simetri $n^2$ elemanı sabitliyor. 

Diğer iki simetri ise $n^3$ elemanı sabitliyor.

Öyleyse Burnside teoremi ile

$x=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n}{8}$

Aslında yörünge saymaktan başka bir şey yapmıyoruz fakat sayma kullanarak zor görünen bu problem, grup etkisi kullanarak son derece sıradan bir çözüm ile gösterilebiliyor.