Altın oran ve pi sayısı

Question

Altın oran $\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$  olmak üzere $$\pi\lt2\cdot \phi$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Şuradaki linkten geometrik bir kanıt da çıkar sanki.

---

Oradan bir çözüm çıkartamadım. Ama düzgün 12-genden çıkan geometrik bir kanıt var.

---

Cemberin en uzun kirisi capidir gibi bir arguman yaramaz mi ise acaba ?

---

Altın oran cebirsel bir sayı olduğundan inşaa edilebiliyor fakat $\pi$ sayısı cebirsel sayı olmadığından inşa edilemiyor; dolayısıyla geometrik bir karşılaştırma ben yapamadım. Belki Fibonacci kareleri/spirali işe yarar.

Answer 1

$5>2.2^2=4.84$ olduğundan $$2\phi =1+\sqrt5 \ge 1+2.2=3.2>\pi$$ eşitsizliği sağlanır.

Answer 2

$\pi<x<2\phi$ şartını sağlayan bir $x$ sayısı bulmaya çalışalım.

$2\phi=1+\sqrt 5\sim 3,23$  olduğu direkt hesapla görülebilir.

Lemma: Birim çembere teğet olan düzgün bir çokgenin alanı $$S_n=n\cdot tan(\dfrac {\pi}{n})$$ ile verilir.

Çemberin alanı onu çevreleyen çokgenin alanından açıkça küçük olacağından $\pi<S_n$ eşitsizliği barizdir. Ayrıca $n\to\infty$ iken $S_n\to\pi$ olur.

$n=6$ için denersek $x=S_6=2\sqrt 3>1+\sqrt 5$ olacağından istediğimiz eşitsizlik sağlanmaz.

$n=12$ için $x=S_{12}=12\tan 15=12(2-\sqrt 3)\sim3,215$ olup $\pi<x<2\phi$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla  $\pi<2\phi$ olmalıdır.