$2^x-2^9=3^y-3$ Diyofant denklemi

Question

$2^x-2^9=3^y-3$ eşitliğinin pozitif tamsayılarda $(9,1)$ den başka bir çözümü olup/olmadığı nasıl gösterilir?

Comments

$2^9\cdot(2^{x-9}-1)=3\cdot(3^{y-1}-1)$ şeklinde yazınca $(x,y)=(9,1)$ olması gerektiği görülüyor. Başka çözüm olup/olmadığını göremedim.

---

Are there any solutions to $2^n−3^m=1$?

---

Teşekkürler Sercan hocam.

Answer 1

Metin Can Aydemir şu çözümü verdi:

$y=1$ ise $x=9$ bulunur. $y\geq 2$ ise $x\geq 10$'dur. $3^y=2^x-509$ sayısının $9$'a bölünmesi üzerinden ilerleyelim. $$2^x\equiv 509\equiv 5\pmod{9}\implies x\equiv 5\pmod{6}$$ elde edilir. Mod $7$'de incelersek, $x\equiv 5\pmod{6}$ olduğundan $2^x\equiv 4\pmod{7}$'dir ve $$3^y\equiv 2^x-509\equiv 6\pmod{7}$$ elde edilir. $3^y\equiv 6\pmod{7}$ olmasının tek yolu $y\equiv 3\pmod{6}$ olmasıdır. $y=3k$ yazarsak, $3^y=27^k\equiv 1\pmod{13}$ olacağından, $$2^x\equiv 3^y+509\equiv 3\pmod{13}\implies x\equiv 4\pmod{12}$$ bulunur. Ancak yukarıdan da bulduğumuz gibi $x$ tek sayıdır. Bu da bir çelişkidir. $y\geq 2$ için çözüm yoktur.