Question

$p$ ve $q$ asal sayıları veriliyor. $$\dfrac{p} {x} +\dfrac{q} {y} =1$$ denklemini sağlayan $(x, y)$ pozitif tamsayısı ikililerini bulun.

Comments

Sanki olmalı gibi geldi bu soru ama önerilenlerde de yok.

---

Sormadan önce araştırdım. Gördüğüm kadarıyla soru mevcut değil.

Answer 1

Sıfır olmayan $xy$ ile çarparsak ve tek tarafa toplarsak $$xy-py-qx=0 \iff (x-p)(y-q)=pq$$ olur. $x-p$ için olası tüm tam sayılar $$\pm1, \ \pm p, \ \pm q, \ \pm pq$$ olur; yani $x$ için olası tüm tam sayılar $$p\pm1, \ p \pm p, \ p\pm q, \ p\pm pq$$ olur. Bunlara karşılık gelen $y$ değerleri $$q\pm pq, \ q \pm q, \ q\pm p, \ q\pm 1$$ olur.

Pozitif ikililer ise
$(p+1,q+pq)$
$(p+p,q+q)$
$(p+q,q+p)$
$(p+pq,q+1)$
olur.

Tam sayı çözüm sayısı $7$ (sekiz taneden biri $(0,0)$ geliyor) ve pozitif tam sayı çözümü $4$ olur.