İki alt vektör uzayının kesişiminin dikey tümleyeni dikey tümleyenlerinin toplamına eşittir. Neden?

Question

$U$ ve $W$ sonlu boyutlu bir $V$ vektör uzayının iki alt vektör uzayı olsun. $U^\perp+W^\perp=(U\cap W)^\perp$ 'dir. Kanıtlayınız.

Comments

Sen  bu soruda ne(ler) düşündün/denedin @Gökhan ?

---

Bir kümenin ortogonal tümleyeni ve  iki alt vektör uzayının toplamı tanımlarını kullanarak iki kümenin eşitliğini göstermeye çalıştım. Her bir kümeden bir eleman alıp diğerinin de elemanı olduğunu göstermek istedim. Yapamadım.

---

Biraz açık yazmak iyi olur.

Kesişim $V$ olsun.
Her $u\in U$ için $su=0$ ve
her $w\in W$ için $tw=0$ ise
her $v\in V$ için $(s+t)v=sv+tv=0+0=0$ olur.

Kalan kısmı nasıl tamamlarsın?

---

Hocam öncelikle yanıtınız için çok teşekkür ederim. Kanıtınızı anladım. Diğer tarafı olmayana ergi yöntemiyle şu şekilde gösterdim: $$\forall k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ alalım. Neyi merak ediyoruz? $$k$$ $${{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ kümesine düşer mi düşmez mi? Eğer $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ ise   $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ olacağı açıktır $$(k\in {{U}^{\bot }}\Rightarrow k=k+0\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}\,veya\,\,k\in {{W}^{\bot }}\Rightarrow k=0+k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }})$$ .

$$k\notin {{U}^{\bot }}$$ ve $$k\notin {{W}^{\bot }}$$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $$k\notin {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\Rightarrow k\notin {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,\,\left( {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\subseteq {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,oldu\breve{g}undan \right)$$

Çelişki! $$k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ idi. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ dir. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ dir. Kanıt biter.

---

Sonlu boyut için biri diğerini içeriyorsa boyutlarının eşitliğini göstererek de sonuca varabiliriz.