toplama/carpma/cikarma... nin esitlik uzerine dagilmasi

Question

Bu bir sorudan cok ilginc bir gozlemim oldu acaba olsa nasil olurdu nasil yapariz postu 
Keske esitlik $X$ kumesi uzerine ikili bir baginti olmasaydi da, $X \times X \to X$  seklinde fonksiyon olsaydi. O zaman
$a + ( b \doteq c) = (a+b) \doteq (a+c)$

Gibi cok tatli bir sey yazabilirdik.

Bunu su sekilde yapmaya calistim.
Uzerinde toplama tanimlanmis $X$ kumemizi biraz buyutelim . Kumemize $\text{Dogru}$ ve $\text{Yanlis}$ diye iki eleman ekleyelim. Bu yeni kumeye $\tilde{X}$ diyelim.
Bu kume uzerine $\doteq$ ve toplama tanimlamak istiyoruz.
Orjinal kumemizde olan $x,y$ ler icin

• Toplamayi $X$ teki toplama gibi gorelim.
• $x \doteq y$ icin   $x=y$ ise $x$ degilse $\text{Yanlis}$ dondursun

Geriye sadece

$\text{Dogru} + x = ?$ 

$\text{Yanlis} + x = ?$ 

$\text{Dogru} + \text{Dogru} = ?$ 

$\text{Dogru} + \text{Yanlis} = ?$

$\text{Yanlis} + \text{Yanlis} = ?$  

$\text{Dogru} \doteq x = ?$ 

$\text{Yanlis} \doteq x = ?$ 

$\text{Dogru} \doteq \text{Dogru} = ?$ 

$\text{Dogru} \doteq \text{Yanlis} = ?$

$\text{Yanlis} + \text{Yanlis} = ?$  

 

Bu islemleri nasil secmeliyim ki elime bir halka gecsin? Yada mumkun mu bu ?

Aklima gelen baska bir sey ise halkada israr etmeyip
$X$ kumesine sadece $\text{Yanlis}$ elemanini eklemek. 
$x \doteq y$ icin   $x=y$ ise $x$ degilse $\text{Yanlis}$ dondursun

$x \oplus y$ icin   $x,y \in X$ ise $x+y$ degilse $\text{Yanlis}$ dondursun

Bu da dagilma ozelligini sagliyor. Hatta donksyonun aritesinden bagimsiz olarak dagilma ozelligi saglaniyor sanirim