Devirli sayilarin virgulden sonraki kismi sonlu mudur?

Question

örneğin 0,9_ devirli sayisinda (devreden 9) virgulden sonraki kisim devirli sayi tanimina gore sonsuz bir sekilde devam ediyorsa bu sayi nasil olurda sonlu sayi olan 1e ulasabilir ?

Comments

Bir sayıyı iki farklı şekilde gösterebiliyor olmak biraz garip geliyor ama verilen iki cevabın dışında şunu da göz önünde bulundurabilirsin: eğer ben sana a ve b şeklinde iki farklı sayı versem sayı doğrusunda, bir tanesi diğerinden küçük olmak zorunda (ikisi eşit olmadıkları için). Diyelim a sayısını b sayısından küçük verdim. Bu durumda a ile b arasında, a'dan büyük ama b'den küçük olan sayılar vardır. Mesela a ile b'nin ortalamasını alsam, a'dan büyük ama b'den küçük olur. Ama 0,999999... diye devam eden sayıdan büyük, 1'den küçük bir sayı bulamazsın. Neden bulamazsın?

Answer 1

$0,\bar{9}=0,999\cdots$ sonsuz değil, (9 basamağı) sonsuz kez tekrar ediyor.

Aynı şekilde, ${1\over3}=0,\bar{3}$ de sonsuz kez tekrar ediyor.

$0,\bar{9}=0,999\cdots=\frac9{10}+\frac9{10^2}+\frac9{10^3}+\cdots=\frac9{10}\left(1+\frac1{10}+\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\cdots\right)$ yazıp, parantez içindeki toplamı, geometrik toplam formülü ile, hesaplayabilirsin.

Answer 2

$x = 0,\bar{9}=0,999\dots$ diyelim. $x=1$ olduğunu göstermek istiyoruz. Klasik bir çözüm yöntemi şöyledir:

 

$10\cdot x = 9,\bar{9}=9,999\dots$ olur. Buna göre $10\cdot x -x = 9,999\dots - 0,999\dots$ olup $9x = 9 \implies x=1$ bulunur.