$9x^3-8x^2+5x+13 \in \mathbb Q[x]$ indirgebilir mi?

Question

Öncelikle polinomu burada gördüm ve sormak istedim.

Rasyonel kök testi işe yaramıyor çünkü $13/9$ tam sayı değil.

Eisentein test işe yaramıyor. Belki öteleme kullanırsak, yani $f(x+1)$'e bakıp bir şeyler söyleyebiliriz ama denemedim.

Aslında direk olarak bu polinomu şuna eşitleyip $(Ax+b)(Cx^2+dx+c)$kat sayıları bulursak indirgenebilir diyebiliriz ama büyük bir ihtimal çelişki elde edip indirgenemez deriz gibi duruyor.

Ama bu metod benim için uzun bir yol. Başka bir öneriniz var mı ?

Comments

"Rasyonel kök teoremi işe yaramıyor" diyemeyiz. Rasyonel kökün varlığını (ya da yokluğunu) anlayabilmek için $\mp \dfrac{1}{3}, \mp \dfrac{1}{9}, \mp \dfrac{13}{3}, \mp \dfrac{13}{9}, \mp 1, \mp 13$ sayılarının tamamını test etmeniz gerekir. (Bazılarının denklemi sağlamadığı hızlıca görülebilir $x=\mp 13$ gibi.) Rasyonel kök varsa bu üçüncü dereceden denklem indirgenebilirdir, rasyonel kök yoksa indirgenemezdir.

Answer 1

Lokman Gökçe'nin yorumuna ek olarak, bir asal modulunde test edebilirsiniz.

Teorem: $f(x)\in \mathbb Z[x]$ primitive olarak verilsin (yani $f$ polinomundaki katsayıların EBOB'u 1, örnek: $2x^3+3x^2+1$ primitive, ama $2x^2+4x+2$ primitive degil çünkü 2 ile sadeleşme var), $p$ bir asal sayı olsun eğer $f$ 'nin tüm katsayılarını $p$ asal sayısında modulunu alırsanız ve bu mod'da $f$'nin derecesi değişmiyor ve $f$ indirgenemez ise $\in \mod p$, $f$, $\mathbb Z[x]$'de indirgenemezdir. Ayrıca $\mathbb Z[x]$'de ve $\mathbb Q[x]$'de indirgenemezlik denktir.

Bu teoremin basit bir örnegini yapıp soruyu cevaplayalım:

Örnek: $5x^3-x^2+4x+5$, $p=2$ için denersek $x^3-x^2+1$'e denk geliyor $\mod 2$'de, $\mod 2$ dediğimiz aslında biz bu polinomu $\mathbb Z_2[x]$'de düşünüyoruz demek burada kökü var mı yok mu demek $2$ ve $3.$ dereceli polinomların indirgenmişliğini analiz etmemize yetiyor, $0$ için $$0^3-0^2+1\neq 0\mod 2$$ ,$1$ için $$1^3-1^2+1\neq 0 \mod 2$$

Yani $5x^3-x^2+4x+5$,  $p=2$ için indirgenemez oldugundan, indirgenemez.

Sizin sorunuz için yine $p=2$ çalışıyor (bu arada bu metod biraz deneme yanılma, tüm asallar için deneseniz bile bulamayabilirsiniz)

 

$$9x^3-8x^2+5x+13 \equiv \underbrace{x^3+x+1}_{\bar f(x)}\mod 2$$

$\bar f(0)=1\neq 0$

$\bar f(1)=1+1+1\equiv 1\mod 2 \not\equiv 0 \mod 2$

Dolayısıyla $\mod 2$ de indirgenemez yani $9x^3-8x^2+5x+13$ indirgenemez

Comments

Yazdığınız çok iyi oldu. Bunu aslında biliyordum, polinomun üzerine düşünürken aklıma hiç gelmemişti.