$n\geq 4$ olan her çift mertebe için $m$-düzenli çizgenin varlığı

Question

$\color{red}{\textbf{Problem:}}$ Her $n\geq 4$ çift tam sayısı ve $2\leq m < n$ aralığındaki her $m$ tam sayısı için $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizgenin varlığını kanıtlayınız. 

 

$\color{blue}{\textbf{Notlar:}}$

$\color{blue}\bullet$ $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizge, köşelerin her birinin derecesinin aynı $m$ sayısına eşit olduğu çizgelerdir.

$\color{blue}\bullet$ m=3 Durumu burada çözülmüştü.

Comments

Aslında $m$ için aralığı $0\leq m <n$ biçiminde daha geniş olarak yazabiliriz.

$\color{red} \bullet$ $m=0$ iken örnek: Hiç kenar çizmeyiz. her köşenin derecesi $0$ olur.

$\color{red} \bullet$ $m=1$ iken örnek: $n$ tane (çift sayıda) noktayı ikişerli olarak $n/2$ gruba ayırırız. Her bir gruptaki iki noktayı birleştiririz. Her köşenin derecesi $1$ olur.

Answer 1

Problemi çözen bazı örnek çizimler buldum, bunları paylaşabilirim.

 

$\color{red}{ \text{Çözüm: }}$ $n=2k$ çift tam sayı olsun ($k\geq 2$). İndislerdeki toplama çıkarma işlemleri modülo $n$ üzerinde olmak üzere, çizgenin köşeleri $A_1A_2\dots A_n$ düzgün çokgeninin köşeleri olsun.

$\color{blue}\bullet$ $m=2t$ ($t\geq 1$) çift tek sayı iken  $A_i$ köşesini kendinden önceki ilk $t$ tane köşeye, kendinden sonraki ilk $t$ tane köşeye birleştiririz. Yani $A_i$ noktasını, $\{ A_{i-1}, A_{i-2}, \dots, A_{i-t}, A_{i+1}, A_{i+2}, \dots, A_{i+t} \}$ noktalarıyla birleştirerek $\deg(A_i)= 2t = m$ elde ederiz. Böylece, verilen aralıktaki her $m$ çift sayısı için uygun konfigürasyon bulunmuş olur.

$n=10$ ve $m=4$ için örnek çizim aşağıdadır.

 

$\color{blue}\bullet$ $m=2t+1$ ($t\geq 1$) tek sayı iken  $A_i$ köşesini kendinden önceki ilk $t$ tane köşeye, kendinden sonraki ilk $t$ tane köşeye birleştiririz. Ayrıca $n$ çift sayı olduğundan, düzgün $n$-gen de her köşenin merkeze göre simetrisi bir başka köşedir. $A_i$ noktasının merkeze göre simetrisi $A_{i+k}$ dir. $A_i$ noktasını $A_{i+k}$ noktasına da birleştirelim. Yani $A_i$ noktasını, $\{ A_{i-1}, A_{i-2}, \dots, A_{i-t}, A_{i+k},  A_{i+1}, A_{i+2}, \dots, A_{i+t} \}$ noktalarıyla birleştirerek $\deg(A_i)= 2t +1= m$ elde ederiz. Böylece, verilen aralıktaki her $m$ tek sayısı için uygun konfigürasyon bulunmuş olur.

$n=10$ ve $m=5$ için örnek çizim aşağıdadır.