Processing math: 20%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
540 kez görüntülendi
k0 sabit bir tam sayı olmak üzere, her n pozitif tam sayısı için 1k+2k+3k++nk toplamının değerini veren bir Sk(n) polinomu olduğunu gösteriniz. Örneğin S0(n)=n dir. Ayrıca

Sk(n) polinomunun derecesi k+1, baş katsayısı 1k+1 dir.

Sk(n) polinomu tek türlü belirlidir.
bir cevap ile ilgili: Toplamın Limiti
Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 540 kez görüntülendi

https://matkafasi.com/3045/ burada benzeri var. 
https://matkafasi.com/3045/#a3897 bu cevap da bu soruya yanıt.

Bağlantıda çok güzel bilgiler sunulmuş, emeği geçen hocalarıma teşekkür ediyorum. Ben de az farklı olarak Bernoulli'nin kuvvetler toplamı çözümünü paylaşayım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Sk(n)=1k+2k+3k++nk ise Sk(n+1)=1k+2k+3k++nk+(n+1)k olur.

 

1 + \dbinom{k}{0}S_0(n) +  \dbinom{k}{1}S_1(n) + \dbinom{k}{2}S_2(n) +  \cdots +  \dbinom{k}{k-1}S_{k-1}(n) = (n+1)^k  \tag{1}

formülünü ispatlayacağız. Binom teoreminden (n+1)^k = S_{k}(n+1) - S_{k}(n) = 1+ \displaystyle {\sum_{i=1}^{n} \left[ (i+1)^k - i^k \right]} olur. Böylece,

\begin{equation*} \begin{split}  (n+1)^k & = 1 + \displaystyle {\sum_{i=1}^{n} \left[\dbinom{k}{0}i^{0} + \dbinom{k}{1}i^{1}  + \dbinom{k}{2}i^{2} + \cdots + \dbinom{k}{k-1}i^{k-1} \right]} \\   & = 1 + \displaystyle {\dbinom{k}{0} \sum_{i=1}^{n}i^{0} + \dbinom{k}{1} \sum_{i=1}^{n}i^{1}  + \dbinom{k}{2} \sum_{i=1}^{n}i^{2}  + \cdots + \dbinom{k}{k-1} \sum_{i=1}^{n}i^{k-1} } \\   & =  1 + \dbinom{k}{0}S_0(n) +  \dbinom{k}{1}S_1(n) + \dbinom{k}{2}S_2(n) +  \cdots +  \dbinom{k}{k-1}S_{k-1}(n) . \end{split} \end{equation*}

elde edilir. S_0(n) = n olduğu açıktır. Bunu kullanarak,

k=2 için ; 1 + \dbinom{2}{0}S_0(n) +  \dbinom{2}{1}S_1(n) = (n+1)^2 . Then, 1 + n + 2\cdot S_1(n) = (n+1)^2   ve S_1(n) = \dfrac{n(n+1)}{2} elde edilir.

k=3 için; 1 + \dbinom{3}{0}S_0(n) +  \dbinom{3}{1}S_1(n) +  \dbinom{3}{2}S_2(n) = (n+1)^3 . O zaman,
1 + n + 3n + 3\cdot S_2(n) = (n+1)^3
olur ve S_2(n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} bulunur.

 

Benzer şekilde k=4 için kolayca S_3(n) = \dfrac{n^2 (n+1)^2}{4} eşitliğini de bulabiliriz.

k=5 için;  1 + \dbinom{5}{0}S_0(n) +  \dbinom{5}{1}S_1(n) +  \dbinom{5}{2}S_2(n) +  \dbinom{5}{3}S_3(n) +  \dbinom{5}{4}S_4(n) = (n+1)^5 . S_0, S_1, S_2, S_3 değerlerine sahibiz. Biraz işlem yaparak, S_4(n) =  \dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) eşitliğine ulaşılır.

 

Jacob Bernoulli'nin pozitif tam sayıların kuvvetler toplamı ile ilgili çözüm fikri bu şekildedir.

 

k =0, 1, 2, 3, 4 için S_0, S_1, S_2, S_3, S_4 formüllerinin sırasıyla 1,2,3,4,5 inci dereceden polinom kuralları ile formülize edildiğini gördük.

Tümevarım ile bir k\geq 0 tam sayısı için S_{k}(n) nin k+1 inci dereceden polinom olduğunu kabul edelim. (1) bağıntısından dolayı \dbinom{k+2}{k+1} S_{k+1}(n) = (n+1)^{k+1} - c_k\cdot S_k(n) - \cdots olup S_{k+1}(n), k+2 nci dereceden bir polinom olarak elde edilir. Böylece her k \geq 0 tam sayısı için S_k(n) polinomunun derecesinin k+1 olduğunu buluruz. Üstelik \dbinom{k+2}{k+1} S_{k+1}(n) = (n+1)^{k+1} - c_k\cdot S_k(n) - \cdots eşitliğinden S_{k+1} polinomunun baş katsayısının  \dfrac{1}{k+2} olduğunu da elde etmiş oluyoruz.

 

Peki S_k(n) polinomu biricik midir? Bir başka M_k poliomunun da her n pozitif tam sayısı için M_k(n) = 1^k + 2^k + \cdots + n^k eşitliğini sağladığını düşünelim. Bunların farkları olan F_k(n) = P_k(n) - M_k(n) polinomunun kökleri n=0,1,2, \cdots olup sonsuz çokluktadır. Bu ise F_k(n) \equiv 0 (sıfır polinomu) olması demektir. Yani P_k(n) = M_k(n) dir.
(2.6k puan) tarafından 
20,329 soru
21,886 cevap
73,617 yorum
2,987,563 kullanıcı