Limit türevin dışına çıkarılabilir mi?

Question

$\frac{d}{dx} (\lim_{n\to\infty} f(x,n))$ ifadesi  $\lim_{n\to\infty}\frac{d}{dx} (f(x,n))$ şeklinde yazılabilir mi?

Comments

Bu, genel olarak doğru değildir.

Düzgün Yakınsaklık kavramını duydun mu?

Turevin düzgün yakınsaması  durumunda, doğru olduğunu gösteren bir teorem vardır. O teoremi, ileri analiz kitaplarında bulabilirsin.

---

Duymamıştım hocam, teşekkürler

Answer 1

Yanlış olduğu bir durum örneği vereyim.

Genellikle $f(x,n)$ yerine $f_n(x)$ kullanılır. Ben de öyle kullanacağım.

$f_n(x)=e^{-nx^2}$ olsun. $\forall x\in\mathbb{R}$ için, $\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}$ olup, limit fonksiyon $0$ da süreksizdir.

Bu nedenle, $\left.\frac{d}{dx}\left(\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)\right)\right|_{x=0}$  yoktur. (Limit fonksiyon $0$ da türevlenemez.)

Oysa, her $n\in\mathbb{N}$ için, $\left.\frac{d}{dx}\left(f_n(x)\right)\right|_{x=0}=0$ olup, $\lim_\limits{n\to\infty}\left(\frac{d}{dx}\left(f_n(x)\right)|_{x=0}\right)=0$ dır.

Comments

Sağolun hocam, tam üzerine çalıştığım konuyla ilgili ve ana sorunu anlamama yarayan bir örnek oldu. Teşekkür ederim