Soruyu ortalama eşitsizlikleri, max değer için parabol bilgisi veya bir değişkenli fonksiyonlada türev gibi yöntemlerle de çözebiliriz. Fakat, bu soruların en hızlı çözümü Apollonius Çemberi ile yapılır. Onu göstereyim:
|CA|=2a,|CB|=a ve |AB|=4 olsun. C nin iç açıortayı ve dış açıortayını çizelim. Bu açıortaylar AB doğrusunu sırasıyla D, E noktalarında kessin. Açıortay teoremlerinin iyi bilindiğini varsayarak |BE|=4, |DB|=43 olduğunu söyleyebiliriz. Böylece |DE|=4+43=163 buluruz.

Bu açıortayların birbiriyle dik kesiştiğini iyi biliyoruz. Yani m(^DCE)=90∘ dir. Dikkat ediniz ki, |DE| uzunluğu sabit ve bu uzunluğu gören ^DCE açısı da sabittir. O halde bu değişken C noktasının geometrik yeri nedir? Tabii ki, |DE| çaplı çemberdir. İşte bu çembere, ABC üçgeninin C noktasına göre Apollonius çemberi deniyor. C den AB doğrusuna bir dikme çizelim ve yüksekliğin ne zaman en büyük değere ulaşacağını gözlemleyelim. Tam olarak bu Cden inen yükseklik, çemberin O merkezinden geçtiği zaman, yüksekliğin en büyük değerini alacağını rahatça görebiliyoruz. C yi kırmızı noktalı çember üzerinde gezdirirsek, bunu daha iyi anlayabiliriz. |CO|=|DE|2=83, C den inen maksimum yüksekliktir. Peki, artık alanı hesaplayalım:
Alan(ABC)max=4⋅(8/3)2=163 bulunur.