2 tane $n$ değişkenli polynomun çarpımı $n$'den daha az polynomun çarpımı olarak yazılabilir mi?

Question

Aşağıdaki gibi düşünürsek tabiki yazılabilir:

$$f(x,y,z)=x^2y$$ , $$g(x,y,z)=xy^3-y^2$$
$$f(x,y,z)g(x,y,z)=x^2y^3(xy-1)\in \mathbb Z[x,y]$$

Soru:
Ancak $f$ polynomu içerisinde her değişken en az 1kere bile bulunuyorsa

ve $g,h$ 2 tane farklı değişkenlerle yazılmışsa ve $f=gh$ ise $g$ veya $h$ polynomunun en fazla $f$'deki kadar değişkenlerle yazılabildiğini gösterelim?

Daha matematiksel olarak $$f\in \mathbb Z[x_1,x_2,...,x_n]$$

Eğer $$(f)\subset (g)\in \mathbb Z[x_1,x_2,...,...]\quad \text{sonsuz degişken}$$
$$\Rightarrow g\in \mathbb Z[x_1,x_2,...,x_n]$$

Comments

Şu önerme gösterilse yeterli oluyor mu:

$g$ ve $h$ polinomlarından bir tanesinde, bir $x_i$ değişkeni "bulunuyorsa" (bunu daha kesin bir dille ifade etmek zor değil), ve diğeri $0$ polinomu değilse, $fg$ polinomunda da $x_i$ değişkeni "bulunur".

---

evet hocam yeterlidir

---

ring integral domain oldugu icin ($\mathbb Z$)

---

Bu problem Hilbert'in 13. problemiyle ilgili Kolmogorov-Arnold Temsil Teoremiyle ilişkilendirilebilir mi?