$85^m-4=n^4$ ($m,n\in\mathbb{N}$) denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.

Question

$85^m-4=n^4$  denkleminin tüm pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz.

Comments

Hangi yarışmada sorulduğunu bulamadım ama Olimpiyat sorusu düzeyinde güzel bir soru.

Answer 1

Küçük değerleri inceleyerek denklemin bir çözümünün $(m,n) = (1, 3)$ sıralı ikilisi olduğunu gözlemlemekte fayda var. Başka çözüm olup olmadığını araştıralım.

 

Sophie Germain özdeşliğini kullanarak $85^m = n^4 + 4 = (n^2 - 2n +2)(n^2 + 2n +2)$ biçiminde çarpanlara ayıralım. $n=1$ için $85^m = 5$ olup denklemi sağlayan bir $m$ tam sayısı olmadığını anlarız. Bu sayede $n\geq 2$ kabul edebiliriz ve böylelikle, çözümün sonraki basamaklarında $n^2 - 2n +2$ ve $n^2 + 2n +2$ çarpanlarının $1$ den büyük olduğunu kullanabiliriz.

 

$85=5\cdot 17$ dir.

•  $5\mid n^2 - 2n +2$ veya $5\mid n^2 + 2n +2$ dir.
• $17\mid n^2 - 2n +2$ veya $17\mid n^2 + 2n +2$ dir.

Eğer $5\mid n^2 - 2n +2$ ise $(n-1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5}$ olup $(n-1)^2  \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$ yazılır. Buradan $n \equiv 3 \text{ veya } 4 \pmod{5}$ bulunur. Bu değerler ise $(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5}$ denkliğini sağlamadığı için $(n-1)^2 + 1$, $(n+1)^2 + 1$ çarpanlarından yalnızca biri $5$ e tam bölünebilir.

Eğer $17\mid n^2 - 2n +2$ ise $(n-1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{17}$ olup $(n-1)^2  \equiv -1 \equiv 16 \pmod{17}$ yazılır. Buradan $n \equiv 5 \text{ veya } -3 \pmod{17}$ bulunur. Bu değerler ise $(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{17}$ denkliğini sağlamadığı için $(n-1)^2 + 1$, $(n+1)^2 + 1$ çarpanlarından yalnızca biri $17$ ye tam bölünebilir.

Çarpanlardan herhangi biri $1$ e eşit olamayacağına göre, Bu çarpanlardan küçük olanı $5^m$ e eşit, büyük olanı ise $17^m$ e eşit olmalıdır.

$(n-1)^2 + 1 = 5^m$ ve $(n+1)^2 + 1 = 17^m$ denklemlerinden $n$ bilinmeyenini yalnız bırakırsak $n = \sqrt{5^m - 1} +1 =  \sqrt{17^m - 1} - 1$ elde edilir. Böylece

$$\sqrt{17^m - 1} - \sqrt{5^m - 1} = 2 \tag{1}$$

olur. $m\geq 1$ tam sayıları için $17^m > 5^m$ olduğundan bu denklemin sol tarafındaki $\sqrt{17^m - 1} - \sqrt{5^m - 1}$ ifade artandır. Dolayısıyla $(1)$ denklemini sağlayan en fazla bir $m$ değeri olabilir. Başta da belirttiğimiz gibi $m=1$ bir çözümdür.

 

Tek çözümün $(m,n) = (1,3)$ sıralı ikilisi olduğunu anlarız.

Comments

Sophie Germain özdeşliği şöyle görülür: $n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2+2n)(n^2+2-2n)$

Ben son kısmı şöyle gösterdim:

$\frac{n^2+2n+2}{n^2-2n+2}=\left(\frac{17}5\right)^m$ olur.

$m\geq2$ için $\left(\frac{17}5\right)^m=(3,4)^m>10$ olur. Ama,

$\forall n\in\mathbb{N}$ için, $n^2+2n+2<10(n^2-2n+2)$ olduğu, kolayca (diskriminant kullanarak) görülür.

---

$17/5$ oranını yazma fikriniz çok iyi Doğan hocam. Çözümün o aşamasına gelince, oran yerine çarpanların farkına bakıp $4n = 17^m - 5^m$ elde ettim. Bu fark $n$ e bağlı olduğu için işime yaramadı ve bir süre bu noktada tıkanmışım. (Daha sonra; $n$ i yok ederek, $m$ e bağlı olan $(1)$ denklemini yazma yoluna girdim.)